Índice de um subgrupo

Em álgebra abstrata, o índice de um grupo $G$ em um subgrupo $H$ se refere ao número de elementos que possuem os conjuntos das classes adjuntas (ou classes laterais), cuja notação é $G:H$ ou $H:G$ que estão definidas mediante as relações de equivalência $\sim _{H}$ (Classe lateral a esquerda) e $_{H}\sim$ (Classe lateral a direita), dadas por:

• $x\sim _{H}y\Leftrightarrow x^{-1}y\in H,~\forall x,y\in G$

  $x_{H}\sim y\Leftrightarrow xy^{-1}\in H,~\forall x,y\in G$

tal que:

• $G:H=\bigcup _{g\in G}\{gh:h\in H\}=\bigcup _{g\in G}gH$

  $H:G=\bigcup _{g\in G}\{hg:h\in H\}=\bigcup _{g\in G}Hg$

Definição

Seja $G$ um grupo finito e seja $H\subseteq G$ um subgrupo de $G$. O número

$i(H,G)=|H:G|=|G:H|=|G|/|H|,$

é chamado índice de $G$ em $H$ e se representa por $i(H,G)$, de onde se tem utilizado a notação clássica, $|G|$, para a ordem de um grupo.