Zbiór nieprzeliczalny

Zbiór nieprzeliczalny – zbiór, który nie jest przeliczalny. Inaczej: zbiór nieskończony, który nie jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych (zatem ma większą moc). Pojęcie zbioru nieprzeliczalnego pochodzi od Georga Cantora.

Podstawowe własności

Suma dwóch (i dowolnej ilości) zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Różnica zbioru nieprzeliczalnego i przeliczalnego jest zbiorem nieprzeliczalnym.
Iloczyn kartezjański dowolnej ilości zbiorów nieprzeliczalnych jest zbiorem nieprzeliczalnym.

Przykłady

zbiór liczb rzeczywistych jest nieprzeliczalny (patrz: rozumowanie przekątniowe)
zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny
zbiór liczb przestępnych jest nieprzeliczalny
zbiór Cantora jest nieprzeliczalny
zbiór wszystkich podzbiorów zbioru liczb naturalnych jest nieprzeliczalny.

Wszystkie wyszczególnione zbiory są mocy continuum. Negacja hipotezy continuum, która mówi że istnieje nieprzeliczalna liczba kardynalna mniejsza od continuum, jest niesprzeczna z teorią mnogości ZFC.

Bibliografia

Kazimierz Kuratowski, Andrzej Mostowski: Teoria mnogości. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1966.
Helena Rasiowa: Wstęp do matematyki współczesnej. Warszawa: PWN, 1968. ISBN 83-01-13949-8
Aleksander Błaszczyk, Sławomir Turek: Teoria mnogości. Warszawa: PWN, 2007, s. 84-86. ISBN 978-83-01-15232-1.