Value at risk

Value at risk (lub wartość zagrożona ryzykiem) – miara ryzyka wyrażająca graniczny poziom straty znaleziony dla ustalonego $\alpha ,$ będącego prawdopodobieństwem jej osiągnięcia. Równoważną interpretacją tego pojęcia jest kwota gotówki jaką należy dodać do pozycji, aby prawdopodobieństwo jakiejkolwiek straty (wartości ujemnej) było mniejsze lub równe poziomowi $\alpha .$

Definicja

Niech $X$ oznacza wartość pewnego portfela aktywów, natomiast $\alpha$ pewien graniczny poziom prawdopodobieństwa. Wartość zagrożona ryzykiem zdefiniowana jest jako:

$\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)=-\sup \left\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{P}}(X\leqslant x)\leqslant \alpha \right\}=\inf \left\{x\in \mathbb {R} \colon {\text{P}}(X+x<0)\leqslant \alpha \right\}=-q_{\alpha }^{+}(X),$

gdzie $q_{\alpha }^{+}(X)$ jest górnym kwantylem rzędu $\alpha$ zmiennej $X.$

Własności

• jeśli $X\geqslant 0,$ to $\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)\leqslant 0,$
• niezmienniczość ze względu na przesunięcia – dla dowolnego $c\in \mathbb {R}$ zachodzi:

$\mathrm {VaR} _{\alpha }(X+c)=\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)-c,$ gdzie

• dodatnia jednorodność: $\mathrm {VaR} _{\alpha }(\lambda X)=\lambda \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)$ dla $\lambda \geqslant 0,$
• monotoniczność: $X\geqslant Y,$ to $\mathrm {VaR} _{\alpha }(X)\leqslant \mathrm {VaR} _{\alpha }(Y).$

Dla rozkładów eliptycznych (w tym rozkładu rozkładu normalnego) zachodzi ponadto własność podaddytywności:

• $\mathrm {VaR} _{\alpha }(X+Y)\leqslant \mathrm {VaR} _{\alpha }(X)+\mathrm {VaR} _{\alpha }(Y).$

Sposoby wyznaczania

• analiza wartości historycznych – metoda ta polega na konstruowaniu rozkładu empirycznego na podstawie danych historycznych
• metody Monte Carlo – polegają na przeprowadzeniu doświadczenia losowego przy przyjętych założeniach o rozkładzie wartości portfela i na tej podstawie wyznaczeniu wartości zagrożonej
• metody analityczne – polegają na przyjęciu założeń dotyczących modelowania wartości portfela, a następnie bezpośrednim wyznaczeniu ich wartości

Krytyka

Krytyka wartości zagrożonej jest w dużej mierze spowodowana stosowaniem rozkładu Gaussowskiego dla analizowanych zdarzeń. Przybliżenie uzyskiwane poprzez przyjęcie założenia o normalności rozkładu niesie za sobą poważne konsekwencje w postaci niedostatecznie grubych ogonów co w sposób istotny wpływa na współczynnik $\mathrm {VaR} _{\alpha }(X).$

Kolejną wadą towarzyszącą stosowaniu wartości zagrożonej do konstruowania wymogów związanych z ryzykiem finansowym jest brak informacji o kształcie rozkładu strat dla wartości bezwzględnie większych od poziomu $\mathrm {VaR} _{\alpha }(X).$

Powstała wersja zmodyfikowanego wskaźnika (ang. modified var), w której wykorzystano uogólnienie Cornish–Fishera, pozwalające na analizę rozkładów niegaussowskich.

Bibliografia

• Jacek Jakubowski: Modelowanie rynków finansowych. Warszawa: Script, 2006. ISBN 83-89716-06-2. Brak numerów stron w książce