Twierdzenie Cochrana

Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Założenia

Załóżmy, że $U_{1},U_{2},\dots ,U_{n}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

$\sum _{i=1}^{n}~U_{i}^{2}=Q_{1}+\dots +Q_{k},$

gdzie $Q_{i}$ są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych $U_{i},$ takimi że

$r_{i}+\dots +r_{k}=n,$

gdzie $r_{i}$ są rzędami $Q_{i}.$

Teza

Zmienne $Q_{i}$ są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z $r_{i}$ stopniami swobody.

Przykład

Jeśli $X_{1},\dots ,X_{n}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią $\mu$ i odchyleniem standardowym $\sigma ,$ wtedy

$U_{i}={\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego $i.$

Możemy zapisać:

$\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-\mu )^{2}=\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}+{\overline {X}}-{\overline {X}}-\mu )^{2}=$

$=\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}})^{2}+\sum _{i=1}^{n}~({\overline {X}}-\mu )^{2}+2\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}})({\overline {X}}-\mu ).$

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

$\sum _{i=1}^{n}~(X_{i}-{\overline {X}}),$

natomiast drugi składnik jest sumą $n$ identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez $\sigma ^{2},$ otrzymujemy:

$\sum _{i=1}^{n}~\left({\frac {X_{i}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=\sum _{i=1}^{n}~\left({\frac {X_{i}-{\overline {X}}}{\sigma }}\right)^{2}+n\left({\frac {{\overline {X}}-\mu }{\sigma }}\right)^{2}=Q_{1}+Q_{2}.$

Ranga $Q_{2}$ wynosi $1$ (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga $Q_{1}$ być z kolei obliczona jako $n-1.$

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że $Q_{1}$ i $Q_{2}$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład $\chi ^{2}$ ze stopniami swobody odpowiednio $n-1$ i $1.$

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

$({\overline {X}}-\mu )^{2}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{1}^{2}.$

Jako estymatora wariancji $\sigma ^{2}$ używa się często:

${\hat {\sigma ^{2}}}={\frac {1}{n}}\sum ~\left(X_{i}-{\overline {X}}\right)^{2}.$

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

${\hat {\sigma ^{2}}}\sim {\frac {\sigma ^{2}}{n}}\chi _{n-1}^{2},$

z czego wynika, że wartością oczekiwaną ${\hat {\sigma ^{2}}}$ jest ${\frac {\sigma ^{2}n}{n-1}}.$

Zobacz też

• analiza wariancji
• przegląd zagadnień z zakresu statystyki
• twierdzenie Fishera