Tożsamość polaryzacyjna

Tożsamość polaryzacyjna lub wzór polaryzacyjny – wzór będący odpowiednikiem wzorów skróconego mnożenia dla elementów rzeczywistych przestrzeni unitarnych.

Twierdzenie

Jeśli $x$ i $y$ są elementami rzeczywistej przestrzeni unitarnej $X,$ to prawdziwy jest następujący wzór, nazywany tożsamością polaryzacyjną:

$\|x+y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}+2\langle x,y\rangle .$

(1)

Zastępując w równaniu (1) $y$ przez $-y,$ otrzymuje się wzór

$\|x-y\|^{2}=\|x\|^{2}+\|y\|^{2}-2\langle x,y\rangle ,$

(2)

co odpowiada równości występującej w twierdzeniu cosinusów.

Dodanie równań (1) oraz (2) daje

$\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2},$

co odpowiada tożsamości równoległoboku.

Z kolei odejmując stronami (2) od (1), dostaje się

$\|x+y\|^{2}-\|x-y\|^{2}=4\langle x,y\rangle .$

Warto zauważyć analogie powyższych wzorów do następujących wzorów skróconego mnożenia: równanie (1) odpowiada (3), a równanie (2) odpowiada (4), a powyższa suma (1) oraz (2) poniżej sumie (3) i (4). Tożsamość (1) jest odpowiednikiem wzoru na kwadrat dwumianu:

$(a+b)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab,$

(3)

z kolei w (2), podobnie jak wyżej, zmieniono znak $b{:}$

$(a-b)^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab,$

(4)

ostatecznie suma (3) i (4), to

$(a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2a^{2}+2b^{2}.$

Wyprowadzenie

Każdą przestrzeń unitarną da się w naturalny sposób wyposażyć w normę, daną wzorem

$\|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}.$

(5)

Iloczyn skalarny

$\langle x+y,x+y\rangle =\langle x+y,x\rangle +\langle x+y,y\rangle$

jest wynikiem rozdzielności pierwszego czynnika względem sumy drugiego składnika, która zachodzi ze względu na liniowość iloczynu skalarnego. Rozdzielność kolejnych czynników względem sum pierwszych czynników po prawej stronie powyższego równania daje

$\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle y,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,y\rangle ,$

a ponieważ iloczyn skalarny jest przemienny, to równanie to upraszcza się dalej do

$\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle y,y\rangle +2\langle x,y\rangle .$

(6)

Przyłożenie definicji normy z równania (5) do (6) daje równanie (1), czyli tożsamość polaryzacyjną.

Uogólnienia

Tożsamości mogą być uogólnione na wielomiany jednorodne (tj. formy algebraiczne) dowolnego stopnia.

Linki zewnętrzne

• Polarization identity (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-02-02].