Postać kanoniczna

Postać kanoniczna (normalna, standardowa) obiektu matematycznego – w matematyce i informatyce standardowy sposób przedstawiania obiektu jako wyrażenia algebraicznego. W niektórych dziedzinach matematyki mogą zachodzić różnice między pojęciem „kanoniczna” oraz „normalna”. W większości dziedzin postać kanoniczna oznacza unikatową reprezentację każdego obiektu, zaś postać normalna jedynie precyzuje jego formę, bez konieczności bycia postacią unikatową.

Postać kanoniczna liczby naturalnej w zapisie dziesiętnym to skończony ciąg cyfr, który nie zaczyna się od zera.

Bardziej ogólnie, dla klasy obiektów, na której została określona relacja równoważności, postać kanoniczna polega na wyborze konkretnego obiektu w każdej z klas. Na przykład postać Jordana jest postacią kanoniczną podobieństwa macierzy, a macierz schodkowa postacią kanoniczną, gdy uznamy za równoważne macierz oraz wynik iloczynu tej macierzy i pewnej macierzy odwracalnej.

W informatyce, a konkretnie w algebrze komputerowej, istnieje zazwyczaj wiele różnych sposobów na przedstawienie tego samego obiektu. W tym wypadku postać kanoniczna oznacza takie przedstawienie, w którym każdy obiekt ma swoją unikatową reprezentację. W ten sposób można łatwo sprawdzić równość dwóch obiektów poprzez sprawdzenie równości ich postaci kanonicznych. Jednak wybór postaci kanonicznej bardzo często zależy od kwestii czysto arbitralnych (jak kolejność zmiennych), a to może powodować trudności w porównywaniu dwóch obiektów będących wynikami niezależnych obliczeń. Dlatego w algebrze komputerowej postać normalna to słabsze określenie – przedstawienie takie, że zero ma swoją unikatową reprezentację. To pozwala na porównywanie poprzez przedstawienie różnicy między obiektami w postaci normalnej.

Postać (forma) kanoniczna może oznaczać też formę różniczkową, która została przedstawiona naturalnie (kanonicznie).

Proces zamiany obiektu na postać kanoniczną nazywany jest normalizacją^[a]

Definicja

Załóżmy, że mamy zbiór $S$ obiektów z relacją równoważności. Postać kanoniczna jest dana poprzez wyznaczenie niektórych obiektów w $S$ do bycia „w postaci kanonicznej” takiej, że każdy obiekt w zbiorze jest równoważny jednemu i tylko jednemu obiektowi w postaci kanonicznej. Innymi słowy, postaci kanoniczne w $S$ reprezentują klasy abstrakcji, każda dokładnie jednokrotnie. By sprawdzić, czy dwa obiekty są równe, wystarczy sprawdzić równość ich postaci kanonicznych. W ten sposób postać kanoniczna nie tylko klasyfikuje każdą klasę abstrakcji, ale daje też wyróżnionego (kanonicznego) reprezentanta.

W praktyce warto umieć rozpoznawać postaci kanoniczne. Jest też do rozważenia problem algorytmiczny – jak przejść od danego obiektu $s$ należącego do $S$ do postaci kanonicznej $s$ ? Postaci kanoniczne są zazwyczaj używane, by uczynić operacje na klasach abstrakcji bardziej efektywne. Na przykład w arytmetyce modularnej postacią kanoniczna klasy reszty jest zazwyczaj jej najmniejsza nieujemna liczba całkowita. Operacje na klasach są wykonywane poprzez połączenie tych reprezentantów, a następnie zredukowanie wyniku do jego najmniejszej nieujemnej reszty.

Postać kanoniczna może czasem być po prostu pewną konwencją lub też być określona twierdzeniem. Na przykład wielomiany są najczęściej zapisywane w kolejności malejących potęg. Częstszy jest zapis $x^{2}+x+30$ niż $x+30+x^{2},$ pomimo że obie postaci definiują ten sam wielomian. Zupełnie innym przypadkiem jest postać Jordana będąca określona głębokim twierdzeniem.

Przykłady

Uwaga: „z dokładnością do” jakiejś relacji identyczności E oznacza, że postać kanoniczna nie jest unikatowa w ujęciu ogólnym, ale jeśli jeden obiekt ma dwie postaci kanoniczne, są one E-identyczne.

Algebra liniowa

Obiekty	$A$ jest równoważne $B,$ jeśli:	Postać kanoniczna	Uwagi
Macierze normalne nad liczbami zespolonymi	$A=U^{*}BU$ dla pewnej macierzy unitarnej $U$	Macierz diagonalna (z dokładnością do zmiany kolejności)	Twierdzenie spektralne
Macierze nad liczbami zespolonymi	$A=UBV^{*}$ dla pewnej macierzy unitarnej $U$ oraz $V$	Macierz diagonalna z rzeczywistymi, dodatnimi elementami (w porządku malejącym)	Rozkład według wartości osobliwych
Macierze nad ciałami algebraicznie domkniętymi	$A=P^{-1}BP$ dla pewnej odwracalnej macierzy $P$	Postać Jordana (z dokładnością do zmiany kolejności bloków)
Macierze nad ciałami algebraicznie domkniętymi	$A=P^{-1}BP$ dla pewnej odwracalnej macierzy $P$	Postać kanoniczna Weyra (z dokładnością do zmiany kolejności bloków)
Macierze nad ciałem	$A=P^{-1}BP$ dla pewnej odwracalnej macierzy $P$	Postać kanoniczna Frobeniusa
Macierze nad dziedziną ideałów głównych	$A=P^{-1}BQ$ dla pewnych odwracalnych macierzy $P$ i $Q$	Postać kanoniczna Smitha	Równoważność polega na tym samym, co pozwolenie na przemienne podstawowe transformacje rzędów i kolumn
Przestrzenie wektorowe o skończonej ilości wymiarów nad ciałem $K$	$A$ i $B$ są izomorficzne jako przestrzenie wektorowe	$K^{n},$ gdzie $n$ jest liczbą naturalną

Logika klasyczna

Analiza funkcjonalna

Obiekty	$A$ jest równoważne $B,$ jeśli:	Postać kanoniczna
Przestrzeń Hilberta	Jeśli $A$ i $B$ są obie ośrodkowymi przestrzeniami Hilberta nieskończonego wymiaru, wtedy $A$ oraz $B$ są izometrycznie izomorficzne.	$\ell ^{2}(I)$ są przestrzeniami sekwencyjnymi (z dokładnością do wymiany zbioru indeksów $I$ na inny zbiór indeksów o tej samej mocy zbioru)

Teoria liczb

Postać kanoniczna liczb naturalnych
Postać kanoniczna ułamka łańcuchowego

Algebra

Obiekty	$A$ jest równoważne $B,$ jeśli:	Postać kanoniczna
Skończenie wygenerowane $R$ -moduły, gdzie $R$ jest dziedziną ideałów głównych	$A$ i $B$ są izomorficzne jako $R$ -moduły	Podstawowa dekompozycja (z dokładnością do zmiany kolejności) lub niezmienna rozkładu czynników.

Geometria

Równanie prostej: $Ax+By=C,$ gdzie $A^{2}+B^{2}=1$ oraz $C\geqslant 0.$

Równanie okręgu: $(x-h)^{2}+(y-k)^{2}=r^{2}.$

Istnieją alternatywne formy zapisywania równań. Na przykład równanie prostej można zapisać jako równanie liniowe, mając dany punkt należący do prostej oraz jej nachylenie lub jej współczynnik nachylenia i wyraz wolny.

Notacja matematyczna

Postać standardowa jest używana przez wielu matematyków i naukowców w celu zapisywania bardzo dużych liczb w bardziej zwięzły i zrozumiały sposób.

Teoria zbiorów

Postać normalna Cantora liczby porządkowej

Teoria gier

Gra w postaci normalnej

Systemy przepisywania

W abstrakcyjnych systemach przepisywania, postać kanoniczna jest nieredukowalnym obiektem.

Rachunek lambda

Postać normalna Beta, jeśli niemożliwa jest redukcja beta; Rachunek lambda jest szczególnym przypadkiem abstrakcyjnego systemu przepisywania.

Formy różniczkowe

Do kanonicznych form różniczkowych zaliczamy formę Liouville’a, ważną w badaniu mechaniki Hamiltona i rozmaitości symplektycznych.

Informatyka

W informatyce, przekształcanie danych do postaci kanonicznej jest potocznie nazywane normalizacją danych.

Na przykład normalizacja bazy danych jest procesem organizowania pól i tabel relacyjnej bazy danych, aby zminimalizować redundancję danych. W dziedzinie bezpieczeństwa oprogramowania oprogramowanie często podatne jest na niewłaściwe dane wejściowe. Odpowiedzią na ten problem jest poprawna ratyfikacja danych wejściowych. Zanim można ją przeprowadzić, dane wejściowe muszą zostać znormalizowane – odszyfrowane i zredukowane do ciągu znaków.

Inne typy danych, często kojarzone z przetwarzaniem sygnałów (w tym audio lub obrazów) lub uczeniem maszynowym, mogą być znormalizowane w celu podania skończonego zakresu wartości.

Zobacz też

Uwagi

↑ Czasem używa się też pojęcia „kanonizacja”.

Bibliografia

Georgi E. Shilov: Linear Algebra. Dover, 1977. ISBN 0-486-63518-X.
Vagn Lundsgaard Hansen: Functional Analysis: Entering Hilbert Space. World Scientific Publishing, 2006. ISBN 981-256-563-9.

[1] Czasem używa się też pojęcia „kanonizacja”.

[a]