Binær relasjon

En binær relasjon, eller en relasjon, er i matematikk en sammenheng mellom to og to objekter i en mengde. For hvert par av objekter vil relasjonen enten være sann eller ikke. Eksempler på relasjoner er «lik», «større enn», «kongruent» og «ortogonal til».

Binære relasjoner er brukt i alle deler av matematikk. En funksjon er definert som en spesiell type binær relasjon.

Formell definisjon

Dersom M er en vilkårlig mengde, og S er en delmengde av det kartesiske produktet M × M, så er S en binær relasjon i M..

For ethvert ordnet par (a,b) av objekt i M kan en si at paret er med i S eller ikke. Dette er ekvivalent til å si at relasjonen mellom a og b er oppfylt eller ikke. En relasjon kan generelt skrives på formen aSb eller S(a,b), men ofte erstattes S med et mer standard symbol, som for eksempel et likhetstegn.

Egenskaper

En matematisk relasjon kan karakteriseres med følgende egenskaper:

• Relasjonen er refleksiv dersom aSa for alle a i mengden M.
  • Relasjonen er irrefleksiv dersom det ikke finnes noen a i M slik at aSa
• Relasjonen er symmetrisk dersom aSb medfører bSa.
  • Relasjonen er asymmetrisk dersom aSb medfører ikke bSa.
• Relasjonen er antisymmetrisk dersom aSb og bSa medfører at a = b.
• Relasjonen er transitiv dersom aSb og bSc medfører aSc.

Relasjonen «større eller lik» er refleksiv, mens relasjonen «større enn» ikke er det. Relasjonen «lik» er symmetrisk, mens relasjonen «større eller lik» er antisymmetrisk. En relasjon som er både refleksiv, symmetrisk og transitiv kalles en ekvivalensrelasjon. En relasjon som er refleksiv, antisymmetrisk og transitiv kalles en partiell ordning.

Refleksivitet

En relasjon S er refleksiv dersom ethvert element i en gitt mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på refleksive relasjoner:

• Likhet (=) på tall
• Større eller lik (≤) på tall
• Delmengde-relasjonen ($\textstyle {}\subseteq$)

Irrefleksivitet

En relasjon S er irrefleksiv dersom ingen objekter i en mengde er relatert til seg selv.

Eksempler på irrefleksive relasjoner:

• Ekte større (<) på tall
• Er ikke lik (≠) på tall

Symmetri

En relasjon S er symmetrisk dersom en relasjon er slik at dersom x er relatert til y, så er y også relatert til x. Merk at symmetri er ikke det motsatte av antisymmetri.

Eksempler på symmetriske relasjoner:

• Likhet (=) på tall
• «Søsken-relasjonen»

Asymmetri

En relasjon er asymmetrisk den har egenskapen hvis x er relatert til y, så er det ikke slik at y er relatert til x.

Eksempler på asymmetriske relasjoner:

• Mindre enn (<) på tall: $\textstyle {}2<3$, men $\textstyle {}3\not <2$
• Delmengde-relasjonen $\textstyle {}\subseteq$

Antisymmetri

En relasjon er antisymmetrisk dersom den er slik at hvis to objekter er relatert med hverandre, så må de være samme objekt. Merk at antisymmetri ikke er det motsatte av symmetri.

Eksempler på antisymmetriske relasjoner:

• Mindre eller lik (≤) på tall, hvis x≤y og y≤x, så er x=y
• Likhet på tall, hvis x=y og y=x, så er x=y
• Ekte mindre (<) på tall, det finnes ingen tilfeller slik at x < y og y < x, så det blir en tom sannhet.

Transitivitet

En relasjon er transitiv dersom den er slik at hvis x er relatert til y og y er relatert til z, så er x relatert til z.

• Likhet (=) på tall
• Mindre eller lik (≤) på tall

Se også

• Relasjonsalgebra

Eksterne lenker

• Encyclopedia of Mathematics: Binary Relation (på engelsk). Springer/The European Mathematical Society. 2001. ISBN 1402006098.