Variatie van parameters

De methode van variatie van parameters of variatie van constanten is een methode om een particuliere oplossing te vinden van een lineaire differentiaalvergelijking. De methode is breder toepasbaar dan de methode van de onbepaalde coëfficiënten, maar vereist meer rekenwerk.

De algemene oplossing van een lineaire differentiaalvergelijking bestaat uit de algemene oplossing van de homogene vergelijking, plus een willekeurige oplossing van de volledige vergelijking, de zogenaamde particuliere oplossing.

Methode voor een 2e-orde-differentiaalvergelijking

Beschouw de lineaire 2e-orde-differentiaalvergelijking:

$y''+a\,y'+b\,y=f(x)$

Hierin kunnen $a$ en $b$ zelf ook functies van $x$ zijn. Merk ook op dat de coëfficiënt van de tweede afgeleide gelijk is aan 1. Dit is geen echte beperking, want indien hij niet 1 is, kan de vergelijking door deze factor worden gedeeld, zodat hij 1 wordt.

Indien $y_{1}(x)$ en $y_{2}(x)$ onafhankelijke oplossingen zijn van de homogene vergelijking, dus met het rechterlid gelijk aan nul, dan is algemene oplossing van de homogene differentiaalvergelijking:

$y_{\text{H}}(x)=C_{1}y_{1}(x)+C_{2}y_{2}(x)$

De bedoeling is nu een particuliere oplossing, dus een oplossing van de volledige vergelijking, te vinden van de gedaante:

$y_{\text{P}}(x)=C_{1}(x)\,y_{1}(x)+C_{2}(x)\,y_{2}(x)$,

waarin de constanten uit de homogene oplossing vervangen zijn door functies van $x$. Dit verklaart tevens de benaming van deze methode. De bedoeling is deze twee functies $C_{1}(x)$ en $C_{2}(x)$ te vinden.

In wat volgt wordt de variabele $x$ niet verder opgenomen in de notatie om de formules overzichtelijk te houden.

De afgeleide van deze vooropgestelde particuliere oplossing is dan:

$y'_{\text{P}}=(C_{1}'y_{1}+C_{2}'y_{2})+(C_{1}y_{1}'+C_{2}y_{2}')$

Stel nu als eerste eis aan de onbekende functies $C_{1}(x)$ en $C_{2}(x)$ dat de eerste bijdrage in deze som nul is:

$(1)\quad C_{1}'y_{1}+C_{2}'y_{2}=0$

De tweede afgeleide van de particuliere oplossing is dus:

$y''{\text{P}}=(C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}')+(C_{1}y_{1}''+C_{2}y_{2}'')$

Door de uitdrukkingen voor $y_{\text{P}}$, $y_{\text{P}}'$ en $y_{\text{P}}''$ in te vullen in de inhomogene differentiaalvergelijking, vindt men na herschikking:

$(C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}')+C_{1}(y_{1}''+a\,y_{1}'+b\,y_{1})+C_{2}(y_{2}''+a\,y_{2}'+b\,y_{2})=f(x)$

De tweede en derde bijdrage in deze som zijn echter nul want $y_{1}$ en $y_{2}$ zijn oplossingen van de homogene vergelijking. Dus blijft er over:

$(2)\quad C_{1}'y_{1}'+C_{2}'y_{2}'=f(x)$

De eisen (1) en (2) leveren nu een stelsel in de onbekenden $C_{1}'$ en $C_{2}'$. De oplossingen van dit stelsel kunnen vervolgens worden geïntegreerd om de gezochte functies $C_{1}$ en $C_{2}$ te vinden:

$C_{1}(x)=\int C_{1}'(x)\,\mathrm {d} x,\quad C_{2}(x)=\int C_{2}'(x)\,\mathrm {d} x$,

waarmee de particuliere oplossing gevonden is.

De integratieconstanten bij de berekening van deze twee integralen kunnen zonder verlies van algemeenheid nul gekozen worden.

Voorbeeld van een 2e-orde-differentiaalvergelijking

De differentiaalvergelijking:

$y''+4\,y'+3\,y=\sin(2x)$

heeft als algemene homogene oplossing:

$y_{\text{H}}=C_{1}e^{-3x}+C_{2}e^{-x}$

Er wordt dus een particuliere oplossing gezocht van de vorm

$y_{\text{P}}=C_{1}(x)e^{-3x}+C_{2}(x)e^{-x}$

met $C_{1}$ en $C_{2}$ functies van $x$. De voorwaarden voor de afgeleiden van deze twee functies zijn:

$C_{1}'e^{-3x}+C_{2}'e^{-x}=0$

$-3\,C_{1}'e^{-3x}-C_{2}'e^{-x}=\sin(2x)$

Met als oplossingen:

$C_{1}'=-{\tfrac {1}{2}}e^{3x}\sin(2x),\quad C_{2}'={\tfrac {1}{2}}e^{x}\sin(2x)$

zodat na integratie:

$C_{1}(x)={\tfrac {1}{13}}e^{3x}(2\cos(2x)-3\sin(2x))$

$C_{2}(x)={\tfrac {1}{10}}e^{x}(-2\cos(2x)+\sin(2x))$

De particuliere oplossing is dus:

$y_{\text{P}}(x)=-{\tfrac {8}{65}}\cos(2x)-{\tfrac {1}{65}}\sin(2x)$

De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking is dan

$y(x)=a\,e^{-3x}+b\,e^{-x}+y_{\text{P}}(x)$

waarbij $a$ en $b$ echte constanten zijn. Deze worden bepaald met behulp van de randvoorwaarden.

Hogere ordes

De methode kan veralgemeend worden voor differentiaalvergelijkingen van een hogere orde. Voor orde $n$ dienen $n$ functies $C_{k}(x)$ gezocht te worden waarbij $k$ loopt van 1 tot $n$. De afgeleiden van deze functies zijn de oplossingen van het stelsel:

$C_{1}'y_{1}^{(0)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(0)}=0$

$C_{1}'y_{1}^{(1)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(1)}=0$

....

$C_{1}'y_{1}^{(n-2)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(n-2)}=0$

$C_{1}'y_{1}^{(n-1)}+\ldots +C_{n}'y_{n}^{(n-1)}=f(x)$

De determinant van dit stelsel is de zogenaamde wronskiaan. De oplossingen dienen dan nog geïntegreerd te worden tot de gewenste functies $C_{k}(x)$, en de gezochte particuliere oplossing is:

$y_{\text{P}}(x)=C_{1}(x)\,y_{1}(x)+\ldots +C_{n}(x)\,y_{n}(x)$

waarin $y_{k}(x)$ weer de $n$ onafhankelijke oplossingen uit de homogene oplossing zijn.