Plakne

Plakne ir virsma, kas satur katru taisni, kura savieno jebkurus divus tās punktus. Plakne ir viens no trim ģeometrijas nedefinējamiem pamatobjektiem, kuru īpašības tiek netieši aprakstītas ar ģeometrijas aksiomām.
Plakne ir divdimensionāls analogs punktam (kam ir nulle dimensijas), taisnei (kam ir viena dimensija) un telpai (kam ir trīs dimensijas).
Plakne ir svarīgs ģeometrijas jēdziens, jo tā ļauj definēt daudzus citus ģeometriskus objektus, piemēram, Dekarta koordinātu sistēmu un plaknes figūras - trijstūri, četrstūri, riņķi, utt.
Ģeometrijas nozari, kas pētī figūru un konfigurāciju īpašības plaknē, sauc par planimetriju.

Plaknes vienādojums

Eiklīda telpā $\mathbb {R} ^{3}$ plakni apraksta vispārīga veida lineārs vienādojums

ax+by+cz+d=0

kur a, b, c un d ir reāli skaitļi, turklāt vismaz viens no skaitļiem a, b, c nav vienāds ar nulli. Vektors ${\vec {n}}=(a,b,c)$ ir šīs plaknes normālvektors. Tas nozīmē, ka vektors ar šādām koordinātām ir perpendikulārs plaknei ar augstākminēto vienādojumu.

Plaknes definīcija ar punktu un normālvektoru

Trīsdimensiju telpā svarīgs veids, kā definēt plakni ir norādot plaknes punktu un plaknes normālvektoru.

Pieņemsim, ka $\mathbf {r} _{0}$ ir rādiusvektors kādam punktam $P_{0}$ plaknē, un n ir nenulles vektors, kas perpendikulārs plaknei. Ideja ir tāda, ka punkts P ar rādiusvektoru r atrodas plaknē tad un tikai tad, kad vektors, kas vilkts no $P_{0}$ uz P ir perpendikulārs n. Izmantojot to, ka divi vektori ir perpendikulāri tad un tikai tad, kad to reizinājums ir nulle, iegūsim, ka meklētā plakne var tikt izteikta kā kopa no visiem punktiem r tādiem, ka

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(punkts apzīmē parasto reizināšanu, nevis skalāro reizināšanu). To izvēršot, iegūsim

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,\,

kas ir jau zināmais plaknes vienādojums.

Īpašības

Caur jebkuriem diviem plaknes punktiem var novilkt tieši vienu taisni, jebkurš šīs taisnes punkts pieder plaknei;
Caur jebkuriem trīs telpas punktiem (kas neatrodas uz vienas taisnes) var novilkt tieši vienu plakni;
Divu nesakrītošu plakņu šķēlums ir taisne.

Attālums no punkta līdz plaknei

Plaknei $ax+by+cz+d=0\,$ un punktam $\mathbf {p} _{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ , kas ne obligāti atrodas plaknē, īsākais attālums no $\mathbf {p} _{0}$ līdz plaknei ir vienāds ar

D={\frac {\left|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\right|}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.

No tā seko, ka $\mathbf {p} _{0}$ atrodas plaknē tad un tikai tad, kad $D=0$ .
Ja ${\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}=1$ , kas nozīmē, ka a, b, un c ir normalizēti, tad formula kļūst vienkāršāka:

D=|ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d|\,.

Vispārinājums

Plaknes vispārinājumu lielāka skaita dimensiju telpā sauc par hiperplakni.

Skatīt arī