Lauks (matemātika)

Matemātikā lauks ir algebriska struktūra: kopa, kurā ir definēta saskaitīšana, atņemšana, reizināšana un dalīšana, un tās darbojas tāpat kā atbilstošās darbības ar racionāliem un reāliem skaitļiem. Laukus izmanto algebrā, skaitļu teorijā un citās matemātikas nozarēs.

Pazīstamākie lauki ir racionālo skaitļu lauks, reālo skaitļu lauks un komplekso skaitļu lauks. Citus laukus, piemēram, racionālu funkciju laukus, algebrisku funkciju laukus, algebrisku skaitļu laukus un p-adisku skaitļu laukus, izmanto un pēta matemātikā, piemēram, skaitļu teorijā un algebriskajā ģeometrijā. Vairums kriptogrāfijas metožu balstās uz galīgiem laukiem, tas ir, laukiem, kuru elementu skaiti ir galīgi.

Saistību starp laukiem un lauku saistību ar grupām aplūko Galuā teorijā, ko 19. gadsimta 30. gados aizsāka Evarists Galuā. Tā sniedz noraidošas atbildes uz tūkstošiem gadu senajiem jautājumiem: vai ar cirkuli un lineālu iespējama leņķa trisekcija un kuba divkāršošana. Tāpat šī teorija arī parāda, ka nav iespējams ar algebrisku formulu no koeficientiem izteikt piektās kārtas polinoma saknes.

Definīcijas un īpašības

Apzīmējumi

Bināra operācija kopā $F$ ir attēlojums $F\times F\rightarrow F$: katram sakārtotam $F$ elementu pārim ir piekārtots kāds $F$ elements. Lauka operācijas parasti sauc saskaitīšanu un reizināšanu. Elementu, ko saskaitīšana piekārto pārim $a,b$ sauc par summu un apzīmē kā $a+b$. Savukārt reizināšanas rezultātu sauc par reizinājumu un apzīmē kā $a\cdot b$ vai $ab$.

Lauka definīcija

Lauks $(F,+,\cdot )$ ir algebriska struktūra, ko veido kopa $F$ un divas tajā definētas bināras operācijas, kuras sauc par saskaitīšanu un reizināšanu. Šīs darbības jebkuriem $F$ elementiem $a,b,c$ izpildās saskaņā ar šādām aksiomām.

Asociativitāte

Saskaitīšana un reizināšana ir asociatīvas:

$a+(b+c)=(a+b)+c;$

$a\cdot (b\cdot c)=(a\cdot b)\cdot c.$

Komutativitāte

Saskaitīšana un reizināšana ir komutatīvas:

$a+b=b+a;$

$a\cdot b=b\cdot a.$

Saskaitīšanas un reizināšanas identitātes

Kopā $F$ ir divi dažādi elementi $0$ (nulles elements jeb saskaitīšanas identitāte) un $1$ (vienības elements jeb reizināšanas identitāte) tādi, ka

$a+0=a;$

$a\cdot 1=a.$

Apgrieztie elementi

Katram $a$ eksistē pretējais elements, ko apzīmē ar $-a$ un ar ko izpildās

$a+(-a)=0.$

Katram nenulles elementam $a\neq 0$ eksistē inversais elements, ko apzīmē ar $a^{-1}$ un ar ko izpildās

$a\cdot a^{-1}=1.$

Distributivitāte

Reizināšana ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu:

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c).$

Izmantojot citus matemātikā pazīstamus terminus, var šīs aksiomas apkopot šādi: laukam ir divas operācijas, ko sauc par saskaitīšanu un reizināšanu; ar saskaitīšanu tas veido Ābela grupu, kuras identitāte ir $0$; nenulles elementi ar reizināšanu, veido Ābela grupu, kuras identitāte ir $1$; reizināšana ir distributīva attiecībā pret saskaitīšanu.

Sekas un īpašības

Pretējā un inversā elementa eksistence ļauj veikt saskaitīšanai un reizināšanai pretējās darbības: atņemšanu $a-b$ un dalīšanu $a/b$, definējot tās šādi:

$a-b=a+(-b);$

$a/b=a\cdot b^{-1}.$

Izmantojot distributivitāti un nulles elementa definīciju redzams, ka $a\cdot 0=0$:

$a\cdot b=a\cdot (b+0)=a\cdot b+a\cdot 0.$

Līdzīgi var parādīt, ka $-1\cdot a=-a$:

$0=a\cdot 0=a\cdot (1+(-1))=a\cdot 1+a\cdot (-1)=a+a\cdot (-1).$

Ja $a\cdot b=0$ tad vismaz viens no reizinātājiem pats ir $0$. Aplūkosim gadījumu, kad $b$ nav $0$. Tādā gadījumā $a=0$:

$a=a\cdot 1=a\cdot (b\cdot b^{-1})=(a\cdot b)\cdot b^{-1}=0\cdot b^{-1}=0$.

Harakteristika

Var definēt lauka elementa reizinājumu ar pozitīvu naturālu skaitli: $n\cdot a=a+a+\cdots +a$, kur $a$ ar sevi saskaitīts $n$ reizes. Ja neeksistē tāds skaitlis $n$, ka $n\cdot a=0$, tad saka, ka šī lauka harakteristika ir $0$. Savukārt, ja tāds eksistē, tad mazākais $n$, kam tas izpildās, ir pirmskaitlis un to parasti apzīmē ar $p$ un saka, ka lauka harakteristika ir $p$. Jebkuriem lauka elementiem $a,b$ izpildās

$p\cdot a=0$;

$(a+b)^{p}=a^{p}+b^{p}$,

kur $a^{p}$ ir kāpināšana jeb $p$–kārtīgs $a$ reizinājums ar sevi: $a^{p}=a\cdot a\cdot \ldots \cdot a.$

Apakšlauki un paplašinājumi

Ja lauka $F$ apakškopa $E$ pati veido lauku ar to pašu saskaitīšanu un reizināšanu, kas laukā $F$, tad $E$ sauc par lauka $F$ apakšlauku. Savukārt $F$ ir lauka $E$ paplašinājums. Lauku, kuram nav mazāka apakšlauka, sauc par primitīvu lauku. Primitīvi lauki, kuru harakteristika ir kāds pirmskaitlis $p$, ir izomorfi galīgam laukam $F_{p}$, bet pārējie — izomorfi racionālajiem skaitļiem $\mathbb {Q}$.

Piemēri

Lauks $GF(4)$ ar četriem elementiem, kura apakšlauks (zili simboli ar sārtu fonu) ir $GF(2)$

Saskaitīšana	Reizināšana
+ O I A B O O I A B I I O B A A A B O I B B A I O	· O I A B O O O O O I O I A B A O A B I B O B I A

Lauki ir racionālie skaitļi $\mathbb {Q}$, reālie skaitļi $\mathbb {R}$ un kompleksie skaitļi $\mathbb {C}$ — katram no tiem ar parasto saskaitīšanu un reizināšanu izpildās visas lauka aksiomas. Nulles elements ir $0$, bet vienības elements ir $1$.

Savukārt naturālie skaitļi $\mathbb {N}$ lauku (un pat grupu) neveido, jo tiem neeksistē pretējais elements. Piemēram, nav tāda naturāla skaitļa, ko varētu pieskaitīt pie $4$ un iegūt $0$. Veselo skaitļu kopā $\mathbb {Z}$ pretējie elementi eksistē, taču neeksistē inversie elementi: nav vesela skaitļa, kuru pareizinot ar $2$, varētu iegūt $1$. Tāpēc arī veselie skaitļi neveido lauku, tie veido tikai gredzenu.

Galīgi lauki

Galīgi jeb Galuā lauki ir tādi lauki, kuros ir galīgs elementu skaits. Pats mazākais lauks ir divu elementu lauks $F_{2}$ jeb $GF(2)$, kurā ir tikai $0$ un $1$, to mēdz saukt arī par triviālo lauku. Galīga lauka kārta jeb elementu skaits vienmēr ir kāda pirmskaitļa pakāpe $q=p^{n}$. Galīgi lauki ar to pašu kārtu ir izomorfi, t.i. to struktūra ir vienāda, tikai elementi var būt nosaukti atšķirīgos vārdos. Pieņemts lauku ar kārtu $q$ apzīmēt kā $F_{q}$ vai $GF(q)$.