Integruojantis daugiklis

Integruojantis daugiklis – funkcija, iš kurios padauginus diferencialinę lygtį lengviau randamas jos sprendinys.

Pirmos eilės diferencialinės lygtys

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

$y'+P(x)y=Q(x)$

Integruojantis daugiklis $M(x)$, turintis paversti kairiąją lygties pusę pilnąja išvestine, bus lygus

$M(x)=e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Ši išraiška gaunama taip:

${\begin{aligned}(1)\qquad &M(x){\underset {\text{partial derivative}}{(\underbrace {y'+P(x)y} )}}\\(2)\qquad &M(x)y'+M(x)P(x)y\\(3)\qquad &{\underset {\text{total derivative}}{\underbrace {M(x)y'+M'(x)y} }}\end{aligned}}$

Perėjimas tarp antrojo ir trečiojo žingsnio tolygus reikalavimui, kad $M(x)P(x)=M'(x)$. Taigi,

${\begin{aligned}(4)\qquad &M(x)P(x)=M'(x)\\(5)\qquad &P(x)={\frac {M'(x)}{M(x)}}\\(6)\qquad &\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds=\ln M(x)\\(7)\qquad &e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=M(x)\end{aligned}}$

Padauginus iš $M(x)$ gaunama:

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Pasinaudojus funkcijų sandaugos išvestinės pagal $x$taikymo taisykle gaunama:

$y'e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}+P(x)ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}={\frac {d}{dx}}(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds})$

Pasinaudojant tuo, reiškinys supaprastinamas:

${\frac {d}{dx}}\left(ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\right)=Q(x)e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Toliau abi pusės suintegruojamos pagal $x$, $x$ pervadinamas į $t$. Gaunama:

$ye^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}=\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+C$

Perkėlus eksponentę į dešinę pusę surandamas diferencialinės lygties bendrasis sprendinys:

$y=e^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}\int _{t_{0}}^{x}Q(t)e^{\int _{s_{0}}^{t}P(s)ds}dt+Ce^{-\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}$

Jei $Q(x)=0$ (homogeninė diferencialinė lygtis), randama

$y={\frac {C}{e^{\int _{s_{0}}^{x}P(s)ds}}}$

Čia $C$ yra konstanta.

Pavyzdys

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

$y'-{\frac {2y}{x}}=0.$

Matoma, kad $P(x)={\frac {-2}{x}}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}P(s)\,ds}$

$M(x)=e^{\int _{1}^{x}{\frac {-2}{s}}\,ds}=e^{-2\ln x}={(e^{\ln x})}^{-2}=x^{-2}$

$M(x)={\frac {1}{x^{2}}}.$

Padauginus abi lygties puses iš $M(x)$ gaunama

${\frac {y'}{x^{2}}}-{\frac {2y}{x^{3}}}=0$

${\frac {y'x^{3}-2x^{2}y}{x^{5}}}=0$

${\frac {x(y'x^{2}-2xy)}{x^{5}}}=0$

${\frac {y'x^{2}-2xy}{x^{4}}}=0.$

Pasinaudojus funkcijų santykio išvestinės taisykle gaunama:

$\left({\frac {y}{x^{2}}}\right)'=0$

arba

${\frac {y}{x^{2}}}=C\,$

o iš čia gaunama

$y\left(x\right)=Cx^{2}.$

Netiesinė antros eilės diferencialinė lygtis

Duota tokios formos diferencialinė lygtis:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=Ay^{2/3}$

Panaudojus ${\tfrac {dy}{dt}}$ kaip integruojantį daugiklį, gaunama:

${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}{\frac {dy}{dt}}=Ay^{2/3}{\frac {dy}{dt}}.$

Dabar galima abi puses perrašyti tokiu būdu:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}\right)={\frac {d}{dt}}\left(A{\frac {3}{5}}y^{5/3}\right).$

Taigi,

$\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}={\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}.$

Pritaikius kintamųjų atskyrimo metodą, randama

$\int _{y(0)}^{y(t)}{\frac {dy}{\sqrt {{\frac {6A}{5}}y^{5/3}+C_{0}}}}=t$

Nuorodos

• Munkhammar, Joakim, "Integrating Factor", MathWorld .