Euklidinė erdvė

Kiekvienas taškas 3-matėje Euklidinėje erdvėje yra apibrėžiamas trimis koordinatėmis.

Euklidinė erdvė arba Euklido erdvė – realiųjų skaičių vektorinė n - matė erdvė, kurioje yra apibrėžta skaliarinė sandauga.

Vektorių skaliarinę sandaugą žymėsime $(\alpha \cdot \beta )$.

Ji tenkina keturias savybes:

1. Simetrija $(\alpha \cdot \beta )=(\beta \cdot \alpha )$,
2. Daugybos iš skaliaro asociatyvumas $(l\alpha \cdot \beta )=l(\alpha \cdot \beta )$,
3. Distributyvumas $(\alpha +\gamma )\cdot \beta =(\alpha \cdot \beta )+(\gamma \cdot \beta )$,
4. Vektoriaus skaliarinė sandauga iš savęs yra teigiama, t. y. $(\alpha \cdot \alpha )>0$, jei $\alpha \neq 0$

Remiantis atstumu Euklido erdvėje apibrėžiamos ribos, tolydumo bei diferencijuojamumo sąvokos.

Intuityvus įvadas

Apie 300 metų prieš mūsų erą, graikų matematikas Euklidas padėjo pagrindus tam, ką mes dabar vadiname euklidine geometrija – matematikos šaka, nagrinėjančia sąryšius tarp kampų ir atstumų erdvėje. Euklidas iš esmės sukūrė plokštuminę geometriją, nagrinėjančią dvimačius objektus plokščioje ervėje. Po to jis mėgino išvystyti erdvinę geometriją, kuri nagrinėjo trimačių kūnų geometriją. Euklido aksiomos aprašo abstrakčią matematinę erdvę, žinomą kaip dvimatę arba trimatę euklidinę erdvę. Jų taikymas gali būti išplėstas iki bet kokio matmenų skaičiaus. Tokia erdvė vadinama n - mate euklidine erdve. Ir nors matematika gana abstrakti, ji aprašo visas pagrindines savybes, su kuriomis susiduriame įprastame gyvenime.

Esminė euklidinės erdvės savybė yra jos plokštumas. Egzistuoja daugybė erdvių, kurios nėra euklidinės. Pavyzdžiui, sferos paviršius nėra euklidinė erdvė. Pagal reliatyvumo teoriją keturmatis erdvėlaikis irgi yra neeuklidinė erdvė, kai joje yra kūnų, kuriančių gravitacinį lauką.

Vienas iš būdų įsivaizduoti euklidinę plokštumą tai yra priimti ją kaip aibę taškų, tenkinančių tam tikrus santykius, išreiškiamus atstumo ir kampų kategorijomis. Plokštumoje yra dvi pagrindinės operacijos – postūmiai ir sukimai. Postūmiai tai tokios operacijos, kai kiekvienas plokštumos (erdvės) taškas pastumiamas ta pačia kryptimi per tokį pat atstumą. Sukimai apie fiksuotą tašką yra tokios operacijos, kai kiekvienas plokštumos (erdvės) taškas pasisuka apie fiksuotą tašką tuo pačiu kampu. Vienas svarbiausių Euklidinės geometrijos principų yra tas, kad dvi figūros plokštumoje laikomos ekvivalenčiomis arba kongruentiškomis, jei viena gali būti transformuota į kitą bet kokia postūmių ir sukimų seka.

Norėdami visa tai aprašyti griežtai matematiškai turime apibrėžti atstumo, kampo, postūmio ir sukimo sąvokas. Standartinis kelias tai padaryti yra apibrėžti euklidinę plokštumą kaip dvimatę realių skaičių vektorinę erdvę, kurioje yra įvesta skaliarinės sandaugos kategorija. Tuomet:

• Vektoriai vektorinėje erdvėje atitinka taškams euklidinėje plokštumoje.
• Sudėties operacija vektorinėje erdvėje atitinka postūmiams.
• Iš skaliarinės sandaugos sąvokos seka atstumų ir kampų kategorijos, kurios yra panaudojamas sukimų apibrėžimams.

Po to tereikia išplėsti šias sąvokas didesnių matavimų erdvėms (nors, žinoma, sukimai aukštesnių matavimų erdvėse turi tam tikrų ypatybių, o ir daugelio matavimų erdvių vizualizacija yra gana sudėtinga problema net patyrusiems matematikams).

Pagaliau reikia pastebėti, kad euklidinė erdvė nėra tik vektorinė erdvė, bet afininė erdvė (t. y. begalinė erdvė) su joje veikiančia vektorinės erdvės grupe. Kitais žodžiais, šis patikslinimas tereiškia, kad nėra jokio skirtumo, kuriame taške pasirinksime koordinatinės sistemos atskaitos tašką – jis gali būti perstumtas į bet kurį kitą erdvės tašką.

Realiųjų koordinačių erdvė

Tarkime, kad R tai realiųjų skaičių laukas. Bet kokiam neneigiamam sveikam n egzistuoja n - matė vektorinė erdvė Rⁿ, kartais vadinama realiųjų koordinačių erdve. Rⁿ elementas gali būti užrašytas:

x = (x₁, x₂, …, x_n),

kur kiekvienas x_i yra realusis skaičius. Vektorinėje erdvėje Rⁿ apibrėžtos tokios operacijos:

$\mathbf {x} +\mathbf {y} =(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n}),$

$a\,\mathbf {x} =(ax_{1},ax_{2},\ldots ,ax_{n}).$

Vektorių Rⁿ erdvėje yra apibrėžiama ortogonali bazė:

$\mathbf {e} _{1}=(1,0,\ldots ,0),$

$\mathbf {e} _{2}=(0,1,\ldots ,0),$

$\vdots$

$\mathbf {e} _{n}=(0,0,\ldots ,1).$

Bet koks vektorius iš Rⁿ gali būti išreikštas per

$\mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}.$

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{1}=x_{1}.$

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{2}=x_{2}.$

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {e} _{n}=x_{n}.$

Euklidinė struktūra

Norint naudoti euklidinę geometriją, reikia turėti atstumų (nuotolių) ir krypčių (kampų) tarp vektorių sąvokas. Natūralus būdas suskaičiuoti šiuos dydžius yra apibrėžti skaliarinę sandaugą erdvėje Rⁿ. Skaliarinė dviejų vektorių x ir y sandauga yra apibrėžiama:

$\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n}.$

Jos rezultatas yra visada realusis skaičius. Dar daugiau, x skaliarinė sandauga su juo pačiu visada neneigiamas skaičius. Tai leidžia apibrėžti vektoriaus x ilgį kaip

$\|\mathbf {x} \|={\sqrt {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x} }}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i})^{2}}}.$

Ši funkcija tenkina matematinės normos sąvoką ir vadinama Rⁿ Euklidine norma. Vidinis kampas θ tarp x ir y gali būti parašytas kaip

$\theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right)$

kur cos⁻¹ yra arkkosinuso funkcija.

Pagaliau mes galime panaudoti normos sąvoką apibrėždami atstumą arba metriką erdvėje Rⁿ:

$d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-y_{i})^{2}}}.$

Šis atstumas arba metrika yra vadinamas euklidiniu atstumu, kuris reiškia atstumą tarp dviejų vektorių (rodyklių) galų. Iš esmės tai yra gerai visiems žinoma Pitagoro teorema. Realių koordinačių erdvė su šia metrika yra vadinama Euklidine erdve ir dažnai naudojamas žymėjimas Eⁿ. Euklidinė erdvė taip pat reiškia, kad ji yra Hilberto erdvė ir metrinė erdvė.

Sukimai Euklidinėje erdvėje apibrėžiami kaip tiesinės transformacijos T, išsaugančios kampus ir atstumus:

$T\mathbf {x} \cdot T\mathbf {y} =\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ,$

$|T\mathbf {x} |=|\mathbf {x} |.$

T iš esmės yra ortogonalios matricos.