열교란 상태의 원자는 흑체 복사 가 계에서 방출되지 않는 동안 기본적으로 탄성 충돌을 한다. 대체로 두 원자가 되튈 때는 충돌 전과 같은 운동 에너지를 가진다. (원자 중 다섯은 쉽게 찾을 수 있도록 붉게 칠했음.) 탄성 충돌 (彈性衝突, elastic collision)은 두 물체가 부딪힐 때 충돌 전후에 두 물체가 충돌하는 계의 운동 에너지 총량이 일정한 충돌을 이르는 말이다. 탄성 충돌은 운동 에너지가 다른 형태로 전환되는 일이 없을 경우에만 일어난다. 이 정의는 더 이상 분해되지 않는 입자 따위에서 일어나는 사실상의 충돌 뿐 아니라, 우주선이 중력을 가진 천체에 가까이 접근하여 궤도를 바꾸는 간접 충돌(스윙 바이 )에도 적용된다.
작은 물체들이 충돌하는 동안, 입자가 충돌 시의 반발력에 반하여 움직일 때 우선 운동 에너지는 입자 사이의 반발 위치 에너지 로 변한다. 다음 입자가 힘과 같은 방향으로 움직이면서 이 위치 에너지는 다시 운동 에너지로 돌아간다. 전후의 운동 에너지 총량이 일정할 때를 탄성 충돌이라 한다.
원자 간의 충돌은 탄성 충돌이다. (러더퍼드 산란 이 한 예다.)
원자와는 별개로, 기체 나 액체 를 이루는 분자 는 충돌 시에 운동 에너지가 분자의 병진 운동과 내부 자유도 에 분배가 바뀌므로 완전한 탄성 충돌을 하기가 어렵다.
두 입자를 첨자로 1, 2라 하고, mi 을 질량, 충돌 전 속력을 ui , 충돌 후 속력을 vi 라 두자.
운동량 보존 법칙에 의하여 충돌 전과 후의 운동량이 같으며 이를 식으로 나타내면 다음과 같다.
m
1
u
1
+
m
2
u
2
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
{\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}
마찬가지로 운동 에너지 보존 법칙을 식으로 나타내면 다음과 같다.
m
1
u
1
2
2
+
m
2
u
2
2
2
=
m
1
v
1
2
2
+
m
2
v
2
2
2
{\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}u_{2}^{2}}{2}}={\frac {m_{1}v_{1}^{2}}{2}}+{\frac {m_{2}v_{2}^{2}}{2}}}
ui 를 알 때 두 방정식을 풀어 vi 를 구할 수 있으며 역도 가능하다. 그러나 식을 직접 풀 경우 복잡해지므로, 먼저 값을 아는 속력 중 하나가 0이 되도록 기준계를 바꾸어 간단히 풀 수 있다. 새 기준계에서 방정식을 풀어 값을 모르는 속력을 결정한 뒤, 다시 원래 기준계로 변환하여 같은 결과를 얻는다. 일단 값을 모르는 속력 하나가 결정되면, 대칭이므로 나머지도 알 수 있다.
vi 에 대해 연립하면 다음을 얻는다.
v
1
=
u
1
(
m
1
−
m
2
)
+
2
m
2
u
2
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}
v
2
=
u
2
(
m
2
−
m
1
)
+
2
m
1
u
1
m
1
+
m
2
{\displaystyle v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}
또는
v
1
=
u
1
{\displaystyle \ v_{1}=u_{1}}
v
2
=
u
2
{\displaystyle \ v_{2}=u_{2}}
후자 역시 방정식의 해로, 충돌이 일어나지 않은 경우에 해당한다.
특수 상대성이론 에 따르면, 운동량 p 는 속도 v, 광속 c, 질량 m에 대해 다음과 같은 관계식을 갖는다.
p
=
m
v
1
−
v
2
c
2
{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}
p
1
,
p
2
{\displaystyle p_{1},p_{2}}
E
{\displaystyle E}
불변질량
m
1
,
m
2
{\displaystyle m_{1},m_{2}}
u
1
,
u
2
{\displaystyle u_{1},u_{2}}
v
1
,
v
2
{\displaystyle v_{1},v_{2}}
p
1
=
−
p
2
p
1
2
=
p
2
2
E
=
m
1
2
c
4
+
p
1
2
c
2
+
m
2
2
c
4
+
p
2
2
c
2
=
E
p
1
=
±
E
4
−
2
E
2
m
1
2
c
4
−
2
E
2
m
2
2
c
4
+
m
1
4
c
8
−
2
m
1
2
m
2
2
c
8
+
m
2
4
c
8
2
c
E
u
1
=
−
v
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{1}&=-p_{2}\\p_{1}^{2}&=p_{2}^{2}\\E&={\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E\\p_{1}&=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}\\u_{1}&=-v_{1}.\end{aligned}}}
운동량 보존 을 적용하면 식은 다음과 같이 정리할 수 있다.
m
1
u
1
+
m
2
u
2
=
m
1
v
1
+
m
2
v
2
=
0
m
1
u
1
2
+
m
2
u
2
2
=
m
1
v
1
2
+
m
2
v
2
2
(
m
2
u
2
)
2
2
m
1
+
(
m
2
u
2
)
2
2
m
2
=
(
m
2
v
2
)
2
2
m
1
+
(
m
2
v
2
)
2
2
m
2
(
m
1
+
m
2
)
(
m
2
u
2
)
2
=
(
m
1
+
m
2
)
(
m
2
v
2
)
2
u
2
=
−
v
2
(
m
1
u
1
)
2
2
m
1
+
(
m
1
u
1
)
2
2
m
2
=
(
m
1
v
1
)
2
2
m
1
+
(
m
1
v
1
)
2
2
m
2
(
m
1
+
m
2
)
(
m
1
u
1
)
2
=
(
m
1
+
m
2
)
(
m
1
v
1
)
2
u
1
=
−
v
1
.
{\displaystyle {\begin{aligned}m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}&=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}=0\\m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}&=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\\{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\\u_{2}&=-v_{2}\\{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}&={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\\(m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}&=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\\u_{1}&=-v_{1}\,.\end{aligned}}}
이제 계의 총 운동량
p
T
,
{\displaystyle p_{T},}
E
{\displaystyle E}
v
c
{\displaystyle v_{c}}
m
1
u
1
1
−
u
1
2
/
c
2
+
m
2
u
2
1
−
u
2
2
/
c
2
=
m
1
v
1
1
−
v
1
2
/
c
2
+
m
2
v
2
1
−
v
2
2
/
c
2
=
p
T
m
1
c
2
1
−
u
1
2
/
c
2
+
m
2
c
2
1
−
u
2
2
/
c
2
=
m
1
c
2
1
−
v
1
2
/
c
2
+
m
2
c
2
1
−
v
2
2
/
c
2
=
E
{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}\\{\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}&={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E\end{aligned}}}
v
c
=
p
T
c
2
E
{\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}
이때 충돌 전 두 물체의 속도
u
1
′
{\displaystyle u_{1}'}
u
2
′
{\displaystyle u_{2}'}
u
1
′
=
u
1
−
v
c
1
−
u
1
v
c
c
2
u
2
′
=
u
2
−
v
c
1
−
u
2
v
c
c
2
v
1
′
=
−
u
1
′
v
2
′
=
−
u
2
′
v
1
=
v
1
′
+
v
c
1
+
v
1
′
v
c
c
2
v
2
=
v
2
′
+
v
c
1
+
v
2
′
v
c
c
2
{\displaystyle {\begin{aligned}u_{1}'&={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}\\u_{2}'&={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{1}'&=-u_{1}'\\v_{2}'&=-u_{2}'\\v_{1}&={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}\\v_{2}&={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}\end{aligned}}}
u
1
≪
c
{\displaystyle u_{1}\ll c}
u
2
≪
c
{\displaystyle u_{2}\ll c}
p
T
≈
m
1
u
1
+
m
2
u
2
v
c
≈
m
1
u
1
+
m
2
u
2
m
1
+
m
2
u
1
′
≈
u
1
−
v
c
≈
m
1
u
1
+
m
2
u
1
−
m
1
u
1
−
m
2
u
2
m
1
+
m
2
=
m
2
(
u
1
−
u
2
)
m
1
+
m
2
u
2
′
≈
m
1
(
u
2
−
u
1
)
m
1
+
m
2
v
1
′
≈
m
2
(
u
2
−
u
1
)
m
1
+
m
2
v
2
′
≈
m
1
(
u
1
−
u
2
)
m
1
+
m
2
v
1
≈
v
1
′
+
v
c
≈
m
2
u
2
−
m
2
u
1
+
m
1
u
1
+
m
2
u
2
m
1
+
m
2
=
u
1
(
m
1
−
m
2
)
+
2
m
2
u
2
m
1
+
m
2
v
2
≈
u
2
(
m
2
−
m
1
)
+
2
m
1
u
1
m
1
+
m
2
{\displaystyle {\begin{aligned}p_{T}&\approx m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}\\v_{c}&\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{1}'&\approx u_{1}-v_{c}\approx {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\u_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}'&\approx {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}'&\approx {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{1}&\approx v_{1}'+v_{c}\approx {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\\v_{2}&\approx {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\end{aligned}}}
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