카르탕 대합

리 군론에서 카르탕 대합(Cartan對合, 영어: Cartan involution)은 킬링 형식을 음의 정부호로 만드는 리 대수 대합이다.

정의

실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$가 주어졌으며, 그 킬링 형식

$B\colon {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\to \mathbb {R}$

$B(x,y)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (x)\operatorname {ad} (y))$

을 생각하자.

${\mathfrak {g}}$의 리 대수 자기 동형

$\theta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

가 다음 두 조건을 만족시킨다면, 카르탕 대합이라고 한다.

• (대합 조건) $\theta \circ \theta =\operatorname {id} _{\mathfrak {g}}$
• $B(-,\theta (-))$는 ${\mathfrak {g}}$ 위의 음의 정부호 이차 형식이다.

성질

존재와 유일성

모든 실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$는 카르탕 대합을 갖는다. 또한, 임의의 두 카르탕 대합 $\theta$, $\theta '$에 대하여

$\theta '=\theta \circ \operatorname {Ad} _{g}$

가 되는, ${\mathfrak {g}}$에 대응하는 단일 연결 리 군 $G$의 원소 $g\in G$가 존재한다. 즉, 실수 반단순 리 대수에 대하여 카르탕 대합은 내부 자기 동형을 무시하면 유일하게 존재한다.

카르탕 분해

표수가 2가 아닌 체 $K$ 위의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 대합

$\theta \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$

가 주어졌다고 하자. 그렇다면, $\theta$의 고윳값은 $\pm 1$이므로, 이에 대한 고유 공간

${\mathfrak {g}}={\mathfrak {k}}\oplus {\mathfrak {p}}$

$\theta (k+p)=k-p\qquad (k\in {\mathfrak {k}},\;p\in {\mathfrak {p}})$

을 정의할 수 있다. $\theta$는 리 대수 자기 동형이므로,

$[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {k}}]\subseteq {\mathfrak {k}}$

$[{\mathfrak {k}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {p}}$

$[{\mathfrak {p}},{\mathfrak {p}}]\subseteq {\mathfrak {k}}$

이다. 특히, ${\mathfrak {k}}$는 부분 리 대수를 이룬다. 이를 대합 $\theta$에 대한 카르탕 분해라고 한다.

만약 $K=\mathbb {R}$이며 $\theta$가 카르탕 대합이라면, 다음 성질들이 추가로 성립한다.

• 킬링 형식 $B$는 ${\mathfrak {k}}$에서 음의 정부호 이차 형식이며, ${\mathfrak {p}}$에서 양의 정부호이다.
• ${\mathfrak {k}}$와 ${\mathfrak {p}}$는 $B$에 대하여 서로 수직이다. 즉, $B\upharpoonright {\mathfrak {k}}\otimes {\mathfrak {p}}=0$이다.

예

${\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )$ 위의 카르탕 대합은

$\theta \colon x\mapsto -x^{\top }$

이다. (여기서 $(-)^{\top }$은 $n\times n$ 정사각 행렬의 전치 행렬이다.) 이에 따른 카르탕 분해는

${\mathfrak {k}}={\mathfrak {o}}(n;\mathbb {R} )$

${\mathfrak {p}}=\{x\in {\mathfrak {sl}}(n;\mathbb {R} )\colon x=x^{\top }\}$

이다.

만약 실수 반단순 리 대수 ${\mathfrak {g}}$의 킬링 형식이 음의 정부호라면 (즉, 콤팩트 리 군에 대응한다면), 카르탕 대합은 항등 함수이다. 이 경우 카르탕 분해는 ${\mathfrak {k}}={\mathfrak {g}}$이며 ${\mathfrak {p}}={\mathfrak {0}}$이다.

역사

1880년대에 엘리 카르탕과 빌헬름 킬링의 업적에서 최초로 등장한다.

외부 링크

• “Cartan decomposition”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “CartanDecomposition”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.