체의 확대

체론에서 체의 확대(體의 擴大, 영어: field extension)는 주어진 체에 원소를 추가하여 얻는 더 큰 체이다.

정의

두 체 $K$ 와 $L$ 이 주어졌을 때, $K$ 에서 $L$ 로 가는 확대는 $K$ 에서 $L$ 로 가는 환 준동형이다. (여기서 환 준동형은 항상 곱셈 항등원을 보존시켜야 한다. 즉, 유사환의 준동형보다 더 강한 조건이다.)

체의 확대는 항상 단사 함수이며, 따라서 $K$ 를 $L$ 의 부분 집합으로 볼 수 있으며, 이 경우 $K$ 를 $L$ 의 부분체(部分體, 영어: subfield), 반대로 $L$ 을 $K$ 의 확대체(擴大體, 영어: extension field)라고 한다. $L$ 이 $K$ 의 확대체라는 것은 기호로 $L/K$ 로 쓴다.

일련의 체 $K_{0},K_{1},\dots ,K_{n}$ 들이 서로 체의 확대

K_{0}\subseteq K_{1}\subseteq \cdots \subseteq K_{n}

를 이룰 때, $\{K_{i}\}_{i=0,1,\dots ,n}$ 를 체의 탑(體의 塔, 영어: tower of fields)이라고 한다.

차수

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌을 때, $L$ 은 $K$ 위의 가환 단위 결합 대수를 이루며, 특히 벡터 공간을 이룬다. 체의 확대 $L/K$ 의 차수(次數, 영어: degree)는 $L$ 의 $K$ -벡터 공간으로서의 차원이며, $[L:K]$ 로 표기한다.

차수가 유한한 확대를 유한 확대(無限擴大, 영어: finite extension)라고 한다. 차수가 1인 확대는 전단사 함수이며, 이는 체의 자기 동형에 해당한다. 차수가 2인 확대는 이차 확대(二次擴大, 영어: quadratic extension), 차수가 3인 확대는 삼차 확대(三次擴大, 영어: cubic extension)라고 한다. 모든 유한 확대는 대수적 확대이다.

초월 차수

체의 확대 $L/K$ 및 $L$ 의 부분 집합 $S\subset L$ 이 주어졌을 때, 만약 모든 다항식 $p\in K[|S|]$ 에 대하여, $p(S)=0$ 인 다항식은 $p=0$ 밖에 없다면, $S$ 를 대수적 독립 집합(영어: algebraically independent set)이라고 한다. $L/K$ 의 초월 차수(영어: transcendence degree)는 $L$ 에 포함된 최대 대수적 독립 집합의 크기이며, $\operatorname {trdeg} _{K}L$ 와 같이 표기한다. 초월 차수가 0인 체의 확대는 대수적 확대(代數的擴大, 영어: algebraic extension)라고 하고, 초월 차수가 0이 아닌 확대는 초월 확대(超越擴大, 영어: transcendental extension)라고 한다.

$L/K$ 의 초월 기저(超越基底, 영어: transcendence basis) $S$ 는 $L/K(S)$ 가 대수적인 대수적 독립 집합 $S\subset L$ 이다. 모든 체의 확대는 초월 기저를 가지며, 초월 기저의 크기는 초월 차수와 같다. 만약 $L=K(S)$ 라면, $L/K$ 를 순수 초월 확대(純粹超越擴大, 영어: purely transcendental extension)라고 한다.

체의 확대 $L/K$ 및 $L$ 의 원소 $a\in L$ 가 주어졌을 때, 만약 $\{a\}$ 가 대수적 독립 집합이라면, $a$ 를 $L/K$ 의 초월 원소(超越元素, 영어: transcendental element)라고 한다. 초월 원소가 아닌 원소를 대수적 원소(代數的元素, 영어: algebraic element)라고 한다.

생성원으로 정의되는 확대

체의 확대 $L/K$ 및 $L$ 의 부분 집합 $S\subset L$ 이 주어졌다고 하자. 그렇다면, $L$ 속에서 $S$ 로 생성되는 $K$ 의 확대 $K(S)$ 는 $S\cup K$ 를 부분 집합으로 포함하며 체를 이루는 $L$ 의 가장 작은 부분 집합이다. 이는 항상 유일하게 존재하며, 구체적으로 다음과 같이 구성된다. $K[S]\subseteq L$ 가, $S$ 의 원소들에 대한 $K$ 계수의 다항식들로 구성된 환이라고 하자. 그렇다면 $K(S)$ 는 $K[S]$ 의 분수체와 동형이다.

K(S)=\operatorname {Frac} K[S]=\{p/q\colon p\in K[S],q\in K[S],\;q\neq 0\}\subseteq L

또한, 만약 $S$ 가 유한 집합이며, $L$ 이 대수적 확대라면 $K(S)/K$ 는 유한 확대이다.

체의 확대 $M/K$ 속에서 두 부분체

K\subseteq L_{1}\subseteq M

K\subseteq L_{2}\subseteq M

가 주어졌을 때, 이 두 확대체의 합성체(合成體, 영어: compositum)는 $K(L_{1}\cup L_{2})\subseteq M$ 이다.

체 노름과 체 대각합

유한 확대 $L/K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $L$ 은 유한 차원 $K$ -벡터 공간이며, 임의의 원소 $a\in L$ 에 대하여 $a\cdot \colon L\to L$ 은 $K$ -벡터 공간의 선형 변환이다. 따라서 그 행렬식과 대각합을 취할 수 있으며, 이를 각각 체 노름(體norm, 영어: field norm) $\operatorname {N} _{L/K}$ 과 체 대각합(體對角合, 영어: field trace) $\operatorname {T} _{L/K}$ 이라고 한다.

\operatorname {N} _{L/K}\colon L\to K

\operatorname {N} _{L/K}\colon a\mapsto \det(a\cdot )

\operatorname {T} _{L/K}\colon L\to K

\operatorname {T} _{L/K}\colon a\mapsto \operatorname {tr} (\cdot a)

보다 일반적으로, $a\cdot$ 의 고유 다항식을 취할 수 있으며, 이는 $K$ 계수의 일계수 다항식이다.

\chi _{L/K}(x;a)=\det(x-a\cdot )\in K[x]

이는 체 노름과 체 대각합을 계수로 포함한다.

\chi _{L/K}(x;a)=x^{[L:K]}-\operatorname {T} _{L/K}(a)x^{[L:K]-1}+\cdots +(-1)^{[L:K]}\operatorname {N} _{L/K}(a)

체 노름과 체 대각합은 최소 다항식으로도 정의할 수 있다. 임의의 $a\in L$ 에 대하여, 그 최소 다항식이 $p_{a}\in K[x]$ 라고 하고, 그 근들의 중복집합이 $\{\sigma _{1}(a),\dots ,\sigma _{n}(a)\}\in {\bar {K}}$ 라고 하자. 그렇다면 다음이 성립한다.

\operatorname {N} _{L/K}(a)=\left(\prod _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)\right)^{[L:K(a)]}

\operatorname {T} _{L/K}(a)=[L:K(a)]\sum _{i=1}^{n}\sigma _{i}(a)

만약 $L/K$ 가 분해 가능 확대라면, 근들의 중복집합은 집합이 된다.

만약 $L/K$ 가 갈루아 확대라면, 위 공식은 다음과 같이 간단해진다.

\operatorname {N} _{L/K}(a)=\prod _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)

\operatorname {T} _{L/K}(a)=\sum _{g\in \operatorname {Gal} (L/K)}g(a)

여기서 $\operatorname {Gal} (L/K)$ 는 갈루아 군이다.

성질

체의 확대는 항상 단사 함수이다. (전단사 함수인 체의 확대는 체의 자기 동형(영어: automorphism)이라고 한다.) 체의 확대 $L/K$ 가 존재한다면, $K$ 와 $L$ 의 표수는 서로 일치한다.

\exists L/K\implies \operatorname {char} K=\operatorname {char} L

차수와 초월 차수

확대의 합성에 따라 차수는 곱해지며, 초월 차수는 더해진다. 즉, 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$ 이 주어졌을 때, 합성 확대 $M/K$ 의 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[M:K]=[L:K][M:L]

\operatorname {trdeg} _{K}M=\operatorname {trdeg} _{K}L+\operatorname {trdeg} _{L}M

여기서 좌변은 일반적으로 기수의 곱 또는 합이다.

초월 차수가 1 이상이라면, 차수는 항상 무한 기수이며, 확대체의 집합의 크기와 같다.

\operatorname {trdeg} _{K}L\geq 1\implies [L:K]=|L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\geq \aleph _{0}

이다.

증명:

자명하게

\max\{\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}\leq [L:K]\leq |L|=\max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L,\aleph _{0}\}

이므로, $[L:K]\geq |K|$ 임을 보이면 충분하다. 초월 원소 $x\in L$ 를 고르자. 그렇다면,

\left\{{\frac {1}{1+ax}}\colon a\in K\right\}\subseteq L

는 $K$ -선형 독립 집합임을 보이면 족하다. 즉, 임의의 $c_{0},\dots ,c_{n-1}\in K$ 및 서로 다른 $a_{0},\dotsc ,a_{n-1}\in K$ 에 대하여,

{\frac {c_{0}}{1+a_{0}x}}+\cdots {\frac {c_{n-1}}{1+a_{n-1}x}}=0

라고 가정하였을 때

c_{0}=\dotsb =c_{n-1}=0

임을 보여야 한다.

r_{n-1,i,j}=e_{n-1,j}(a_{0},\dotsc ,a_{i-1},a_{i+1},\dotsc ,a_{n-1})\qquad (i,j=0,\dotsc ,n-1)

라고 하자 ( $e_{n-1,j}$ 는 $(n-1)$ 변수 $j$ 차 기본 대칭 다항식). 그렇다면 가정은

{\begin{aligned}0&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}(1+a_{0}x)\dotsm (1+a_{i-1}x)(1+a_{i+1}x)\dotsm (1+a_{n-1}x)\\&=\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}\sum _{j=0}^{n-1}r_{n-1,i,j}x^{j}\\&=\sum _{j=0}^{n-1}x^{j}\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}\end{aligned}}

와 동치이다 . $x$ 가 초월 원소이므로, 이는

\sum _{i=0}^{n-1}c_{i}r_{n-1,i,j}=0\qquad (j=0,\dotsc ,n-1)

와 동치이다. 이는 $c_{0},\dots ,c_{n-1}$ 에 대한 연립 일차 방정식이다. 따라서, 계수들의 행렬식이 0이 아님을 보이면 족하다. 사실,

{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\neq 0

이며, 이는 $n$ 에 대한 수학적 귀납법을 통하여 다음과 같이 보일 수 있다. $n=1$ 의 경우는 자명하다. 이제 $n-1$ 에 대하여 참임을 가정하고, $n$ 의 경우를 생각하자. 가정에 따라 다음이 성립한다.

{\begin{aligned}{\begin{vmatrix}r_{n-1,0,0}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-1,n-1,0}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}&={\begin{vmatrix}0&r_{n-1,0,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,0,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&r_{n-1,n-2,1}-r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-2,n-1}-r_{n-1,n-1,n-1}\\1&r_{n-1,n-1,1}&\cdots &r_{n-1,n-1,n-1}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}{\begin{vmatrix}(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{0})r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,0}&\cdots &(a_{n-1}-a_{n-2})r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(-1)^{n}(a_{n-1}-a_{0})\dotsm (a_{n-1}-a_{n-2}){\begin{vmatrix}r_{n-2,0,0}&\cdots &r_{n-2,0,n-2}\\\vdots &&\vdots \\r_{n-2,n-2,0}&\cdots &r_{n-2,n-2,n-2}\end{vmatrix}}\\&=(a_{0}-a_{n-1})\dotsm (a_{n-2}-a_{n-1})\prod _{0\leq i<j\leq n-2}(a_{i}-a_{j})\\&=\prod _{0\leq i<j\leq n-1}(a_{i}-a_{j})\end{aligned}}

즉, $n$ 에 대해서도 참이다.

대수적 확대 $M/K$ 의 두 중간체 $K\subseteq L_{1},L_{2}\subseteq M$ 에 대하여, 다음 부등식이 성립한다.^[1]^{:529, Proposition 21}

[K(L_{1}\cup L_{2}):K]\leq [L_{1}:K][L_{2}:K]

증명:

우선, $L_{1}/K$ 와 $L_{2}/K$ 가 모두 대수적 확대인 경우를 증명하자. $L_{1}$ 과 $L_{2}$ 의 $K$ -기저 $(a_{i})_{i\in I}$ 및 $(b_{i})_{i\in I}$ 에 대하여, $(a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}$ 가 $K(L_{1}\cup L_{2})$ 를 $K$ -선형 생성함을 보이는 것으로 족하다. 이는 다음과 같은 단계들을 거쳐 보일 수 있다. 자명하게

K(L_{1}\cup L_{2})=K(\{a_{i}\}_{i\in I}\cup \{b_{j}\}_{j\in J})

이다. 또한, 이는 자명하게

K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})

꼴의 체들의 합집합이다. 모든 $a_{i_{r}}$ 와 $b_{j_{s}}$ 가 대수적 원소이므로,

{\begin{aligned}K(a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}})&=K(a_{i_{1}})\cdots (a_{i_{m}})(b_{j_{1}})\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}}]\cdots [a_{i_{m}}][b_{j_{1}}]\cdots (b_{j_{n}})\\&=K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]\end{aligned}}

이다. 마지막으로, 유한 개의 $a_{i_{r}}$ 들의 곱은 $L_{1}$ 의 원소이므로 (유한 개의) $a_{i}$ 들의 $K$ -선형 결합이다. 마찬가지로 유한 개의 $b_{j_{s}}$ 들의 곱은 (유한 개의) $b_{j}$ 들의 $K$ -선형 결합이다. 따라서, $K[a_{i_{1}},\dotsc ,a_{i_{m}},b_{j_{1}},\dotsc ,b_{j_{n}}]$ 의 원소들은 (유한 개의) $a_{i}b_{j}$ 들의 $K$ -선형 결합이다. 즉, $(a_{i}b_{j})_{i\in I,\;j\in J}$ 는 $K(L_{1}\cup L_{2})$ 의 $K$ -선형 생성 집합이다.

이제 초월 확대가 하나 이상인 경우를 생각하자. 이 경우, $K(L_{1}\cup L_{2})/K$ 가 초월 확대이며 $L_{1}$ 와 $L_{2}$ 중 하나 이상이 무한 집합이므로

[K(L_{1}\cup L_{2}):K]=|K(L_{1}\cup L_{2})|=\max\{|K|,|L_{1}\cup L_{2}|,\aleph _{0}\}=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}

이다. 만약 $L_{1}/K$ 와 $L_{2}/K$ 가 둘 다 초월 확대라면,

[L_{1}:K][L_{2}:K]=|L_{1}||L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}

이다. 만약 $L_{1}/K$ 가 대수적 확대이며 $L_{2}/K$ 가 초월 확대라면,

[L_{1}:K]\leq |L_{1}|=\max\{|K|,\aleph _{0}\}\leq \max\{|K|,\operatorname {trdeg} _{K}L_{2},\aleph _{0}\}=|L_{2}|

이므로

[L_{1}:K][L_{2}:K]=[L_{1}:K]|L_{2}|=\max\{[L_{1}:K],|L_{2}|\}=|L_{2}|=\max\{|L_{1}|,|L_{2}|\}

이다. 즉, 등식이 성립하며, 특히 부등식도 참이다.

체 노름과 체 대각합

노름은 체의 가역원군의 군 준동형을 이룬다. 즉, 임의의 $a,b\in L$ 에 대하여

\operatorname {N} _{L/K}(ab)=\operatorname {N} _{L/K}(a)\operatorname {N} _{L/K}(b)

이며, 만약 $a\neq 0$ 이라면

\operatorname {N} _{L/K}(a^{-1})=\operatorname {N} _{L/K}(a)^{-1}

이다. 또한, 만약 체의 확대 $L/K$ 및 $M/L$ 이 주어졌다면, 체 노름은 체의 확대의 합성을 따른다.

\operatorname {N} _{M/K}=\operatorname {N} _{L/K}\circ \operatorname {N} _{M/L}

대수적 수체 $K/\mathbb {Q}$ 에서, 모든 대수적 정수 $a\in {\mathcal {O}}_{K}$ 의 체 노름은 (유리수) 정수이다.

\forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon \operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)\in \mathbb {Z}

또한, 다음이 성립한다.

\forall a\in {\mathcal {O}}_{K}\colon |\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }(a)|=|{\mathcal {O}}_{K}/(a)|

여기서 좌변은 체 노름의 절댓값이고, 우변은 주 아이디얼에 대한 몫환의 크기이다. 이를 일반화하여, ${\mathcal {O}}_{K}$ 의 임의의 아이디얼 ${\mathfrak {a}}$ 에 대하여

\operatorname {N} _{K/\mathbb {Q} }({\mathfrak {a}})=|{\mathcal {O}}_{K}/{\mathfrak {a}}|

로 정의한다.

분류

체의 확대 $L/K$ 가 주어졌다고 하고, 그 초월 기저 $S\subset L\setminus K$ 가 주어졌다고 하자. 그렇다면 $K(S)/K$ 는 순수 초월 확대이며, $L/K(S)$ 는 대수적 확대이다. 따라서, 체의 확대의 분류는 순수 초월 확대의 분류와 대수적 확대의 분류로 나뉜다.

체 $K$ 의 순수 초월 확대는 모두 유리 함수체 $K(S)$ 와 동형이며, 이는 $S$ 의 집합의 크기 $|S|$ 에 따라 완전히 분류된다.

체 $K(S)$ 의 대수적 확대의 분류는 $K$ 위의 $|S|$ 차원의 (무한 차원일 수 있는) 대수다양체의 쌍유리 동치에 대한 분류와 같으며, 따라서 일반적으로 불가능하다고 여겨진다. 다만 일부 특수한 경우는 대수기하학적 기법으로 분류할 수 있다. 예를 들어, 만약 $K$ 가 대수적으로 닫힌 체이며 $|S|=1$ 인 경우, 이는 $K$ 위의 대수 곡선들의 쌍유리 분류에 해당한다.

종류

위에 정의된 용어 밖에, 특별한 종류의 체의 확대로는 다음이 있다.

예

대수적 폐포

임의의 체 $K$ 에 대하여, 대수적 폐포 ${\bar {K}}$ 및 분해 가능 폐포 $K^{\operatorname {sep} }$ 를 정의할 수 있으며, 또한 $K$ 의 표수에 따라서 $K_{0}$ 를 다음과 같이 정의하자.

K_{0}={\begin{cases}\mathbb {F} _{p}&p=\operatorname {char} K>0\\\mathbb {Q} &\operatorname {char} K=0\end{cases}}

여기서 $\mathbb {F} _{p}$ 는 크기 $p$ 의 유한체이다. 그렇다면 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K_{0}\subseteq K\subseteq K^{\operatorname {sep} }\subseteq {\bar {K}}

${\bar {K}}/K$ 는 항상 대수적 확대를 이루며, 따라서 초월 차수는 0이다.

유리 함수 · 형식적 로랑 급수

임의의 체 $K$ 에 대하여, 유리 함수체 $K(x)=\operatorname {Frac} K[x]$ 및 형식적 로랑 급수체 $K((x))=\operatorname {Frac} K[[x]]$ 를 정의할 수 있다. 이들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

K\subsetneq K(x)\subsetneq K((x))

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[K(x):K]=\aleph _{0}

\operatorname {trdeg} _{K}K(x)=1

[K((x)):K]=2^{\aleph _{0}}

유리수 · 실수 · 복소수

유리수체 $\mathbb {Q}$ , 실수체 $\mathbb {R}$ , 복소수체 $\mathbb {C}$ 는 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {R} \subsetneq \mathbb {C}

이 경우 차수 및 초월 차수는 다음과 같다.

[\mathbb {R} :\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {R} =2^{\aleph _{0}}

[\mathbb {C} :\mathbb {R} ]=2

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {R} }\mathbb {C} =0

체의 확대 $\mathbb {C} /\mathbb {R}$ 에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname {N} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\colon x+iy\mapsto x^{2}+y^{2}=|x+iy|^{2}

이다.

유리수체의 확대

유리수체의 유한 확대는 수체라고 하며, $\mathbb {Q} ({\sqrt {2}})/\mathbb {Q}$ 나 $\mathbb {Q} ({\sqrt {-1}})/\mathbb {Q}$ 등이 있다. 이들은 대수적 확대이므로, 초월 차수는 0이며, 두 예 다 차수는 2이다.

원주율 $\pi$ 및 자연로그의 밑 $e$ 는 초월수이므로, $\mathbb {Q} [\pi ]/\mathbb {Q}$ 와 $\mathbb {Q} (e)/\mathbb {Q}$ 는 초월 차수가 1인 확대이다. 그러나 $\{\pi ,e\}$ 가 대수적 독립 집합인지는 알려지지 않았다. 즉, $\mathbb {Q} (\pi ,e)/\mathbb {Q}$ 는 초월 차수가 1 또는 2이지만, 둘 중 어느 것인지는 알려지지 않았다.

[\mathbb {Q} (\pi ):\mathbb {Q} )]=[\mathbb {Q} (e):\mathbb {Q} ]=[\mathbb {Q} (\pi ,e):\mathbb {Q} ]=\aleph _{0}

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi )=\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (e)=1

\operatorname {trdeg} _{\mathbb {Q} }\mathbb {Q} (\pi ,e)\in \{1,2\}

이차 수체 $\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q}$ 에서의 체 노름은 다음과 같다.

\operatorname {N} _{\mathbb {Q} [{\sqrt {n}}]/\mathbb {Q} }\colon a+{\sqrt {n}}b\mapsto (a+{\sqrt {n}}b)(a-{\sqrt {n}}b)=a^{2}-nb^{2}

이다.

p진수체

소수 $p$ 가 주어졌을 때, 유리수체의 다른 확대로 p진수체 $\mathbb {Q} _{p}$ 를 정의할 수 있다. 이 경우, 다음과 같은 체의 탑이 존재한다.

\mathbb {Q} \subsetneq \mathbb {Q} _{p}\subsetneq {\bar {\mathbb {Q} }}_{p}\subsetneq \mathbb {C} _{p}

여기서 $\mathbb {Q} _{p}$ 는 p진수체이며, ${\bar {\mathbb {Q} }}_{p}$ 는 그 대수적 폐포이며, $\mathbb {C} _{p}$ 는 그 완비화이다. $\mathbb {C} _{p}$ 는 복소수체 $\mathbb {C}$ 와 체로서 동형이다. 이 경우 차수는 다음과 같다.

[\mathbb {Q} _{p}:\mathbb {Q} ]=2^{\aleph _{0}}

유한체

소수 $p$ 가 주어졌을 때, 표수 $p$ 의 유한체들은 다음과 같은 체의 탑을 이룬다.

\mathbb {F} _{p}\subsetneq \mathbb {F} _{p^{2}}\subsetneq \cdots \subsetneq \mathbb {F} _{p^{n}}\subsetneq \cdots {\bar {\mathbb {F} }}_{p}=\varinjlim ^{n\to \infty }\mathbb {F} _{p^{n}}

여기서 ${\bar {\mathbb {F} }}_{p}$ 는 유한체의 대수적 폐포이며, 이는 유한체들의 귀납적 극한을 이룬다. 이 탑에서 차수는 다음과 같다.

[\mathbb {F} _{p^{n+1}}:\mathbb {F} ^{p}]=p

[{\bar {\mathbb {F} }}_{p}:\mathbb {F} _{p^{n}}]=\aleph _{0}

대수다양체의 유리 함수체

대수적으로 닫힌 체 $K$ 위의 대수다양체 $X$ 가 주어졌을 때, $X$ 위의 유리 함수체

L=\Gamma (X,{\mathcal {K}}_{X})

는 $K$ 의 확대이다. 이 경우, $X$ 의 쌍유리 동치류는 확대 $L/K$ 로부터 완전히 결정된다. 특히, $X$ 의 크룰 차원은 $L/K$ 의 초월 차수와 같다.

\dim X=\operatorname {trdeg} _{K}L

이를 사용하여, 유한 초월 차수의 확대는 대수기하학적으로 분류할 수 있다.

$n$ 차원 유리 다양체의 유리 함수체는 순수 초월 확대 $K(x_{1},\dots ,x_{n})$ 이다. 다른 예로, 다음과 같은 방정식으로 주어지는, 사영 평면 속의 초타원 곡선을 생각하자.

y^{2}=p(x)

여기서 $p(x)\in K[x]$ 는 근들이 중복되지 않는 다항식이다. 이는 기하학적으로 $x$ 좌표로 나타내어지는 사영 곡선의 2겹 분기 피복을 이루며, $x$ 위의 올은 $\pm {\sqrt {p(x)}}$ 이다. $2\lceil (\deg p)/2\rceil$ 개의 분기점들은 $p$ 의 근 및 (만약 $2\nmid \deg p$ 인 경우) 무한대 ${\widehat {\infty }}$ 에 위치한다. 체론적으로, 이는 초월 확대

K(x,{\sqrt {p(x)}})/K

로 주어진다. 사영 직선 위의 분기 피복은 대수적 확대 $K(x,{\sqrt {p(x)}})/K(x)$ 에 해당되며, 이것이 2차 유한 확대인 것은 분기 피복이 2겹인 것에 대응한다. 특히, 타원 곡선의 경우 이 함수체 (타원 함수체)는 바이어슈트라스 타원 함수로 다음과 같이 주어진다.

\mathbb {C} (\rho ,{\sqrt {4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}}}\rho ')

이는 바이어슈트라스 타원 함수가 $\wp '^{2}=4\wp ^{3}+g_{2}\wp +g_{3}$ 를 만족시키기 때문이다.

응용

작도 가능성

고전 기하학의 작도는 오직 직선과 원만을 사용한다. 원은 이차 곡선이므로, 이는 이차 방정식을 푸는 것과 같다. 기약 이차 방정식의 근을 추가하는 확대는 차수가 2인 확대이므로, 고전적 작도로서 작도할 수 있는 두 선분의 길이의 비는 항상 유리수체의 이차 확대들

\mathbb {Q} =K_{0}\subset K_{1}\subset K_{2}\subset \cdots \subset K_{n}

[K_{i+1}/K_{i}]=2

가운데 하나에 속해야 한다. 이러한 수를 작도 가능한 수라고 한다.

이를 사용하여, 여러 고전적 작도 문제의 (불)가능성을 쉽게 보일 수 있다. 예를 들어, 입방 배적 문제는 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 가 작도 가능한지 여부인데,

\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}})=\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{2}}\mathbb {Q} \oplus {\sqrt[{3}]{4}}\mathbb {Q}

이므로

[\mathbb {Q} ({\sqrt[{3}]{2}}):\mathbb {Q} ]=3

이며, 따라서 ${\sqrt[{3}]{2}}$ 는 작도할 수 없다.

마찬가지로, 원적 문제는 ${\sqrt {\pi }}$ 가 작도 가능한지 여부를 묻는다. 원주율은 초월수이므로, ${\sqrt {\pi }}$ 역시 초월수이다. (이는 두 대수적 수의 곱은 대수적 수이기 때문이다.) 따라서 원적 문제는 풀 수 없다.

각의 3등분 문제 역시 3차 방정식의 근이 필요하므로 풀 수 없다. 구체적으로, 60도 각은 작도 가능하지만, 그 3등분인 20도 각은 작도 가능하지 않다. 이는 $\cos 20^{\circ }$ 가 작도 가능한 수가 아니라고 말하는 것과 같다. 구체적으로, 삼각 함수의 세배각 공식

\cos 3\theta =4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta

을 생각하자. 여기에 $\theta =60^{\circ }$ 를 대입하면

1/2=4\cos ^{3}20^{\circ }-3\cos 20^{\circ }

을 얻는다. 즉, $\cos 20^{\circ }$ 는 3차 방정식 $4x^{3}-3x-1/2=0$ 의 해이다. 이는 기약 3차 방정식이다. 실제로, $x=(y+1)/2$ 와 같이 치환하면 이는 $y^{3}+3y^{2}-3=0$ 이 되는데, 아이젠슈타인 판정법에 의하여 좌변은 기약 다항식이다. 즉,

[\mathbb {Q} (\cos 20^{\circ }):\mathbb {Q} ]=3

이다.

같이 보기

참고 문헌

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003.

Roman, Steven M. (2006). 《Field theory》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 158 2판. Springer. doi:10.1007/0-387-27678-5. ISBN 978-0-387-27677-9. ISSN 0072-5285. Zbl 1172.12001.
Lang, Serge (2002). 《Algebra》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 211 3판. Springer. doi:10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1. ISSN 0072-5285. MR 1878556. Zbl 0984.00001.

외부 링크

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“Compositum”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
“Transcendental extension”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Extension field degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
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Weisstein, Eric Wolfgang. “Transcendence degree”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Field extension”. 《nLab》 (영어).
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[DummitFooteWiley-1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). 《Abstract algebra》 (영어) 3판. Chichester: Wiley. ISBN 978-0-471-43334-7. MR 2286236. Zbl 1037.00003.

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