정부호 행렬

정부호 행렬(定符號行列, 영어: definite matrix) 또는 정치 행렬(定置行列)은 에르미트 행렬의 일종으로, 특정한 성질을 가지는 행렬에 대해 양수/음수와 같이 부호를 정의하는 것으로 생각할 수 있다.

정의

에르미트 행렬의 고윳값은 항상 실수다. 에르미트 행렬 $M$ 은 그 고윳값의 부호에 따라서 다음과 같이 분류한다.^[1]

모든 고윳값이 음수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 $x$ 에 대해 $x^{*}Mx\geq 0$ 인 경우) $M$ 은 양의 준정부호 행렬(陽-準定符號行列, 영어: positive semi-definite matrix)이다.
모든 고윳값이 양수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 $x$ 에 대해 $x^{*}Mx>0$ 인 경우) $M$ 은 양의 정부호 행렬(陽-定符號行列, 영어: positive definite matrix)이다.
모든 고윳값이 양수가 아닌 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 $x$ 에 대해 $x^{*}Mx\leq 0$ 인 경우) $M$ 은 음의 준정부호 행렬(陰-準定符號行列, 영어: negative semi-definite matrix)이다.
모든 고윳값이 음수인 경우 (즉, 0이 아닌 모든 벡터 $x$ 에 대해 $x^{*}Mx<0$ 인 경우) $M$ 은 음의 정부호 행렬(陰-定符號行列, 영어: negative definite matrix)이다.
양의 준정부호 또는 음의 준정부호가 아닌 경우 (즉, 양수 및 음수 고윳값을 둘 다 가진 경우) $M$ 은 부정부호 행렬(不定符號行列, 영어: indefinite matrix)이다.

실수체에서 정의하는 경우, 에르미트 행렬 $M$ 대신 대칭행렬 $M$ , 켤레전치 $x^{*}$ 대신 전치 $x^{T}$ 를 사용한다.

비(非)에르미트 행렬의 경우

일부 문헌에서는 에르미트 행렬이 아닐 수 있는 행렬 $M$ 에 대해서도 정부호 행렬을 정의하며, 이 경우 $x^{*}Mx$ 대신 그 실수부 $\operatorname {Re} (x^{*}Mx)$ 를 사용한다. 이 경우 $M$ 의 정부호성은 그 에르미트 성분 $(M+M^{*})/2$ 의 좁은 의미의 정부호성과 동치이다.

예제

행렬 $M_{0}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}$ 은 양의 정부호 행렬이다. 모든 복소수 벡터 $x={\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}$ 에 대해, ${\begin{bmatrix}{\bar {x_{0}}}&{\bar {x_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{0}\\x_{1}\end{bmatrix}}={\bar {x_{0}}}x_{0}+{\bar {x_{1}}}{x_{1}}$ 이 되고, $x_{0}$ 이나 $x_{1}$ 이 둘 다 0이 아니라면 이 값은 0보다 크다. 실수 범위에서만 생각할 경우 ${\bar {x_{0}}}x_{0}+{\bar {x_{1}}}{x_{1}}=x_{0}^{2}+x_{1}^{2}$ 가 되고, 역시 모든 실수에 대해 동일한 성질이 성립한다.

반면, $M_{1}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$ 은 부정부호 행렬이다. $x={\begin{bmatrix}1\\-1\end{bmatrix}}$ 에 대해서 $x^{*}Mx=-2$ 가 되기 때문이다.

성질

$n\times n$ 복소수 양의 정부호 행렬 $M$ 에 대해, 다음의 성질이 항상 성립한다.

고윳값이 모두 양수이다.
임의의 두 벡터 $x,y$ 에 대해 $<x,y>=x^{*}My$ 로 내적을 정의하는 것이 가능하다. 반대로, 복소수 벡터 공간 $\mathbb {C} ^{n}$ 에서 정의할 수 있는 내적은 모두 양의 정부호 행렬에 대한 곱으로 표현이 가능하다.
$M$ 은 그람 행렬이다. 즉, 어떠한 선형 독립인 벡터 $x_{1},\cdots ,x_{n}$ 가 존재하여, $M_{ij}=x_{i}^{*}x_{j}$ 가 성립한다.
$M=LL^{*}$ 이 성립하는 하삼각행렬 $L$ 이 유일하게 존재한다. 이러한 분해를 촐레스키 분해라고 부른다.