위상 함자

범주론과 일반위상수학에서 위상 함자(位相函子, 영어: topological functor)는 위상 공간의 범주에서 집합 범주로 가는 망각 함자와 여러 유사한 성질을 보이는 함자이다. 구체적으로, 주어진 집합을 정의역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 엉성한 구조" 및 주어진 집합을 공역으로 하는 함수들로 유도되는 "가장 섬세한 구조"가 유일하게 존재한다. 올범주의 개념에서, 사상을 임의의 원천으로 일반화하여 강화시킨 개념이다.^[1]^{:407, §1}

정의

원천과 흡입

범주 ${\mathcal {E}}$ 의 원천(源泉, 영어: source 소스^[*]) $(X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I})$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.^[2]^{:125, Definition 1.1(1)}

$X\in {\mathcal {E}}$ 는 대상이다.
$(Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}$ 는 ${\mathcal {E}}$ 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
$(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 는 ${\mathcal {E}}$ 의 사상들의 모임이다.

마찬가지로, ${\mathcal {E}}$ 의 흡입(吸入, 영어: sink 싱크^[*]) $(X,(Y_{i})_{i\in I},(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I})$ 은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

$X\in {\mathcal {E}}$ 는 대상이다.
$(Y_{i})_{i\in I}\subseteq {\mathcal {E}}$ 는 ${\mathcal {E}}$ 의 대상들의 모임이다. (이 모임은 고유 모임일 수 있다.)
$(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$ 는 ${\mathcal {E}}$ 의 사상들의 모임이다.

만약 $I$ 가 공집합이라면, 원천 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 은 단순히 대상 $X$ 이며, 만약 $I$ 가 한원소 집합이라면 원천은 단순히 사상 $X\to Y$ 이다.

시작 원천과 끝 흡입

범주 ${\mathcal {E}}$ 의 원천 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 및 함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 가 주어졌다고 하자. 만약 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 가 다음 보편 성질을 만족시킨다면, $(f_{i})_{i\in I}$ 를 $\Pi$ -시작 원천(始作源泉, 영어: initial source)이라고 한다.^[2]^{:Definition 2.1(1)}

임의의 대상 $X'\in {\mathcal {E}}$ 및 사상 ${\hat {g}}\colon \Pi (X')\to \Pi (X)$ 및 사상족 $(f'_{i}\colon X'\to Y_{i})_{i\in I}$ 에 대하여, $\forall i\in I\colon \Pi (f_{i})\circ {\hat {g}}=\Pi (f'_{i})$ 라면, ${\hat {g}}=\Pi (g)$ 이자 $\forall i\in I\colon f_{i}\circ g=f'_{i}$ 인 $g\colon X'\to X$ 가 유일하게 존재한다.
${\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}X'\\{\scriptstyle \exists !g}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists !g}&\searrow \!\!^{f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\X&{\underset {f_{i}}{\to }}&Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}\Pi X'\\{\scriptstyle {\hat {g}}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {g}}}&\searrow \!\!^{\Pi f'_{i}}\!\!\!\!\!\!\\\Pi X&{\underset {\Pi f_{i}}{\to }}&\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}$

마찬가지로, 그 쌍대 개념인 $\Pi$ -끝 흡입(-吸入, 영어: $\Pi$ -final sink)을 정의할 수 있다.

만약 $I$ 가 한원소 집합이라면, 시작 원천은 데카르트 사상이라고 한다.

올림

두 범주 ${\mathcal {E}}$ , ${\mathcal {B}}$ 사이의 함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 가 주어졌다고 하자. ${\mathcal {B}}$ 의 원천 $({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}$ 에서, 만약 ${\hat {Y}}_{i}=\Pi (Y_{i})$ 인 $Y_{i}\in {\mathcal {E}}$ 가 존재한다면, 원천 $({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to {\hat {Y}}_{i})_{i\in I}$ 를 $\Pi$ -구조 원천(構造源泉, 영어: $\Pi$ -structured source)이라고 한다.^[2]^{:128, Definition 1.1(2)} 마찬가지로 $\Pi$ -구조 흡입(構造吸入, 영어: $\Pi$ -structured sink)을 정의한다.

$\Pi$ -구조 원천 $({\hat {f}}_{i}\colon {\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}$ 의 올림은 $\Pi (X)={\hat {X}}$ 이자 $\forall i\in I\colon \Pi (f_{i})={\hat {f}}_{i}$ 인 ${\mathcal {E}}$ -원천 $(f_{i}\colon {\hat {X}}\to Y_{i})_{i\in I}$ 이다.

{\begin{matrix}{\mathcal {E}}&\qquad {\overset {\Pi }{\to }}\qquad &{\mathcal {B}}\\\hline {\begin{matrix}\exists X\\{\scriptstyle \exists f_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle \exists f_{i}}\\Y_{i}\end{matrix}}&\qquad {\overset {\Pi }{\mapsto }}\qquad &{\begin{matrix}{\hat {X}}\\{\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\downarrow {\color {White}\scriptstyle {\hat {f}}_{i}}\\\Pi Y_{i}\end{matrix}}\end{matrix}}

$\Pi$ -구조 흡입의 올림 역시 마찬가지로 정의된다. 시작 올림 또는 끝 올림은 보편 성질에 의하여 정의되므로, 이들은 만약 존재한다면 유일한 동형 사상 아래 유일하다.

임의의 $\Pi$ -구조 원천 $({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}$ 이 만약 시작 원천 $(X\to Y_{i})_{i\in I}$ 을 갖는다면, $X$ 를 원천 $({\hat {X}}\to \Pi (Y_{i}))_{i\in I}$ 에 대한 ${\hat {X}}$ 의 시작 ${\mathcal {E}}$ -구조(始作構造, 영어: initial ${\mathcal {E}}$ -structure)라고 한다. 마찬가지로, $\Pi$ -구조 흡입에 대한 끝 ${\mathcal {E}}$ -구조(-構造, 영어: final ${\mathcal {E}}$ -structure)를 정의할 수 있다.

위상 함자

함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 함자를 위상 함자(영어: topological functor)라고 한다.^[2]^{:128, Definition 2.1(3)}^[3]^{:29–30, §2}^[4]^{:4, Definition 2.12}

모든 $\Pi$ -구조 원천이 시작 올림을 갖는다. 즉, 시작 구조가 항상 존재한다.
모든 $\Pi$ -구조 흡입이 끝 올림을 갖는다. 즉, 끝 구조가 항상 존재한다.

위와 같은 원천의 올림 대신, 풍성한 범주 이론을 사용하여 위상 함자의 개념을 다르게 정의할 수도 있다.^[1]

구체적 범주 $({\mathcal {E}},F)$ 에서, 만약 $F\colon {\mathcal {E}}\to \operatorname {Set}$ 가 위상 함자라면, 이를 위상 구체적 범주(位相具體的範疇, 영어: topological concrete category)라고 하며, 흔히 위상 범주(位相範疇, 영어: topological category)로 줄여 부른다.

성질

모든 위상 함자는 충실한 함자이다.^[2]^{:129, Theorem 3.1}

위상 함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 에 대하여, 다음 세 조건이 서로 동치이다.

모든 구조 원천이 유일한 시작 올림을 갖는다.
모든 구조 흡입이 유일한 끝 올림을 갖는다.
모든 엉성함 원순서들은 부분 순서들이다. 즉, 만약 $f\colon X\to Y$ 와 $g\colon Y\to X$ 가 ${\mathcal {E}}$ 의 사상이며, $\Pi (X)=\Pi (Y)={\hat {X}}$ 이며 $\Pi (f)=\Pi (g)=\operatorname {id} _{\hat {X}}$ 라면, $X=Y$ 이다.

(이 조건은 범주의 동치에 의하여 보존되지 않는 성질이다.)

${\mathsf {P}}$ 가 다음 네 성질 가운데 하나라고 하자.

위상 함자 $\Pi \colon {\mathcal {E}}\to {\mathcal {B}}$ 에 대하여, 만약 ${\mathcal {B}}$ 가 ${\mathsf {P}}$ 라면, ${\mathcal {E}}$ 역시 ${\mathsf {P}}$ 이다.

임의의 범주 ${\mathcal {E}}$ 에 대하여, 위상 함자 ${\mathcal {E}}\to \operatorname {Set}$ 들은 자연 동형 아래 유일하다.^[5]^{:6, Corollary 2.2}

예

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자이다.

집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(25)}
위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(1)}
콜모고로프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {KolmTop}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(17)}
T1 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {T_{1}Top}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(18)}
하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {HausTop}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(19)}
콤팩트 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {CompHausTop}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(21)}
균등 공간과 균등 연속 함수의 범주 $\operatorname {Unif}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(2)}
가측 공간과 가측 함수의 범주 $\operatorname {Measble}$
원순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $\operatorname {Proset}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(14)}
부분 순서 집합과 순서 보존 함수의 범주 $\operatorname {Poset}$ ^[4]^{:2, Example 2.1(15)}
확장 유사 거리 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 $\operatorname {\infty pMet}$ ^[6]^{:233, Proposition B.1.2}
로비어 공간과 상수 1의 립시츠 연속 함수의 범주 $\operatorname {\infty qpMet}$ ^[6]^{:233, Proposition B.1.2}

다음과 같은 구체적 범주들의 망각 함자는 위상 함자가 아니다.

차분한 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {SoberTop}$
정규 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {NormTop}$
정규 하우스도르프 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {NormHausTop}$
장소와 장소 사상의 범주 $\operatorname {Loc}$
매끄러운 다양체와 매끄러운 함수의 범주 $\operatorname {Diff}$

위상 공간

위상 공간의 경우, 시작 구조와 끝 구조는 각각 시작 위상(始作位相, 영어: initial topology)과 끝 위상(-位相, 영어: final topology)이라고 불린다.

즉, 집합 $X$ 와 위상 공간들의 족 $(Y_{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, $X$ 위의 시작 위상은 $f_{i}$ 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 위상이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 위상은 다음과 같은 부분 기저로 정의된다.

\bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(U)\mid U\in \operatorname {Open} (Y_{i})\}

여기서 $\operatorname {Open} (Y_{i})$ 는 $Y_{i}$ 의 위상(열린집합들의 족)이다.

마찬가지로, 집합 $X$ 와 위상 공간들의 족 $(Y_{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면, $X$ 위의 끝 위상은 $f_{i}$ 들을 모두 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 위상이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 위상은 다음과 같다.

U\in \operatorname {Open} (X)\iff \forall i\in I\colon f^{-1}(U)\in \operatorname {Open} (Y_{i})

가측 공간

집합 $X$ 와 가측 공간들의 족 $(Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 시그마 대수(영어: initial sigma-algebra)는 $f_{i}$ 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 엉성한 시그마 대수이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 시그마 대수는

\bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(S)\mid S\in \Sigma _{i}\}

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 $X$ 와 가측 공간들의 족 $(Y_{i},\Sigma _{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 시그마 대수(영어: final sigma-algebra)는 $f_{i}$ 들을 모두 가측 함수로 만드는 가장 섬세한 시그마 대수이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 시그마 대수 $\Sigma$ 는 다음과 같다.

S\in \Sigma \iff \forall i\in I\colon f^{-1}(S)\in \Sigma _{i}

균등 공간

집합 $X$ 와 균등 공간들의 족 $(Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 균등 구조(영어: initial uniform structure)는 $f_{i}$ 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 엉성한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 균등 구조는

\bigcup _{i\in I}\{f_{i}^{-1}(E)\mid E\in {\mathcal {E}}_{i}\}

로 생성된다.

마찬가지로, 집합 $X$ 와 균등 공간들의 족 $(Y_{i},{\mathcal {E}}_{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 균등 구조(영어: final uniform structure)는 $f_{i}$ 들을 모두 균등 연속 함수로 만드는 가장 섬세한 균등 공간 구조이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 균등 구조 ${\mathcal {E}}$ 는 다음과 같다.

E\in {\mathcal {E}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}^{-1}(E)\in {\mathcal {E}}_{i}

유계형 집합

집합 $X$ 와 유계형 집합들의 족 $(Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 유계형(영어: initial bornology)은 $f_{i}$ 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 엉성한 유계형이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 유계형은 다음과 같다.

B\in {\mathcal {B}}\iff \forall i\in I\colon f_{i}(B)\in {\mathcal {B}}_{i}

마찬가지로, 집합 $X$ 와 유계형 집합들의 족 $(Y_{i},{\mathcal {B}}_{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 유계형(영어: final bornology)은 $f_{i}$ 들을 모두 유계형 함수로 만드는 가장 섬세한 유계형이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 유계형은

\bigcup _{i\in I}\{f_{i}(B)\colon B\in {\mathcal {B}}_{i}\}

로 생성된다.

원순서 집합

집합 $X$ 와 원순서 집합들의 족 $(Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon X\to Y_{i})_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 시작 원순서(영어: initial preorder)는 $f_{i}$ 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 엉성한 원순서이다. 구체적으로, $X$ 의 시작 원순서는 다음과 같다.

a\lesssim b\iff \forall i\in I\colon f_{i}(a)\lesssim _{i}f_{i}(b)

마찬가지로, 집합 $X$ 와 원순서 집합들의 족 $(Y_{i},\lesssim _{i})_{i\in I}$ 및 함수족 $(f_{i}\colon Y_{i}\to X)_{i\in I}$ 가 주어졌다고 하자. ( $I$ 는 고유 모임일 수 있다.) 그렇다면 $X$ 위의 끝 원순서(영어: final preorder)는 $f_{i}$ 들을 모두 순서 보존 함수로 만드는 가장 섬세한 원순서이다. 구체적으로, $X$ 의 끝 원순서 $\lesssim$ 는

\bigcup _{i\in I}\{(f_{i}(a),f_{i}(b))\colon a\lesssim _{i}b,\;a,b\in Y_{i}\}

로 생성된다.

역사

1974년에 호르스트 헤를리히(독일어: Horst Herrlich, 1937~2015)가 도입하였다.^[2]

각주

↑ ^가 ^나 Garner, Richard (2014년 8월 12일). “Topological functors as total categories”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 29 (15): 406–421. arXiv:1310.0903. Bibcode:2013arXiv1310.0903G. ISSN 1201-561X. Zbl 1305.18005.
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↑ Brümmer, G. C. L. (1984년 9월). “Topological categories”. 《Topology and its Applications》 (영어) 18 (1): 27–41. doi:10.1016/0166-8641(84)90029-4. ISSN 0166-8641.
↑ ^가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Lowen, Robert; Sioen, Mark; Verwulgen, Stĳn (2009). 〈Categorical topology〉. Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott. 《Beyond topology》. Contemporary Mathematics (영어) 486. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/486/9506. ISBN 978-0-8218-4279-9. MR 2521941.
↑ Hoffmann, Rudolf-E. (1975). “Topological functors and factorizations”. 《Archives of Mathematics》 (영어) 26: 1–7. doi:10.1007/BF01229694. ISSN 0003-889X. MR 0428255. Zbl 0309.18002.
↑ ^가 ^나 Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. MR 472024. Zbl 0891.54001.

Herrlich, Horst (1975). 〈Topological structures〉 (PDF). James, Ralph Duncan. 《Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vancouver, 1974. Volume 2》 (영어). Canadian Mathematical Congress. 63–66쪽. ISBN 0-919558-04-6. 2016년 10월 3일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2016년 6월 28일에 확인함.
Preuss, Gerhard (2002). 《Foundations of topology: an approach to convenient topology》 (영어). Kluwer Academic Publishers. doi:10.1007/978-94-010-0489-3. ISBN 978-94-010-3940-6.
Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 17: 1–507. Zbl 1113.18001.

외부 링크

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Weisstein, Eric Wolfgang. “Weak topology”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Topological concrete category”. 《nLab》 (영어).
“Sink”. 《nLab》 (영어).
“Final lift”. 《nLab》 (영어).
“Weak topology”. 《nLab》 (영어).
“Definition: initial topology”. 《ProofWiki》 (영어).
“Equivalence of definitions of initial topology”. 《ProofWiki》 (영어).
“Definition: final topology”. 《ProofWiki》 (영어).
“Final topology is topology”. 《ProofWiki》 (영어).
“Initial topology with respect to mapping”. 《ProofWiki》 (영어). ^{[깨진 링크(과거 내용 찾기)]}

[Garner-1] 가 ^나 Garner, Richard (2014년 8월 12일). “Topological functors as total categories”. 《Theory and Applications of Categories》 (영어) 29 (15): 406–421. arXiv:1310.0903. Bibcode:2013arXiv1310.0903G. ISSN 1201-561X. Zbl 1305.18005.

[Herrlich-2] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 Herrlich, Horst (1974년 6월). “Topological functors”. 《General Topology and its Applications》 (영어) 4 (2): 125–142. doi:10.1016/0016-660X(74)90016-6.

[3] Brümmer, G. C. L. (1984년 9월). “Topological categories”. 《Topology and its Applications》 (영어) 18 (1): 27–41. doi:10.1016/0166-8641(84)90029-4. ISSN 0166-8641.

[LSV-4] 가 ^나 ^다 ^라 ^마 ^바 ^사 ^아 ^자 ^차 Lowen, Robert; Sioen, Mark; Verwulgen, Stĳn (2009). 〈Categorical topology〉. Mynard, Frédéric; Pearl, Elliott. 《Beyond topology》. Contemporary Mathematics (영어) 486. American Mathematical Society. doi:10.1090/conm/486/9506. ISBN 978-0-8218-4279-9. MR 2521941.

[Hoffmann1975-5] Hoffmann, Rudolf-E. (1975). “Topological functors and factorizations”. 《Archives of Mathematics》 (영어) 26: 1–7. doi:10.1007/BF01229694. ISSN 0003-889X. MR 0428255. Zbl 0309.18002.

[Lowen-6] 가 ^나 Lowen, Robert (1997). 《Approach spaces: the missing link in the topology–uniformity–metric triad》. Oxford Mathematical Monographs (영어). Clarendon Press. ISBN 0-19-850030-0. MR 472024. Zbl 0891.54001.

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