수학 에서 역삼각함수 (逆三角函數, 영어 : inverse trigonometric function )는 삼각 함수 의 역함수 이다. 삼각 함수 는 전단사 함수 (또는 일대일 대응 함수)가 아니기 때문에 이의 역함수를 정의하려면 정의역 을 제한하는 것이 필요하다.
아래는 역삼각함수들의 정의와 표기법, 정의역과 치역들을 나타낸 표이다.
이름
표기법
정의
정의역
치역 (라디안 )
미분
아크사인
y
=
arcsin
x
{\displaystyle y=\arcsin x}
y
=
sin
−
1
x
{\displaystyle y=\sin ^{-1}x}
x
=
sin
y
{\displaystyle x=\sin y}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
−
π
2
≤
y
≤
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
y
′
=
1
1
−
x
2
{\displaystyle y\prime ={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
아크코사인
y
=
arccos
x
{\displaystyle y=\arccos x}
y
=
cos
−
1
x
{\displaystyle y=\cos ^{-1}x}
x
=
cos
y
{\displaystyle x=\cos y}
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
0
≤
y
≤
π
{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
y
′
=
−
1
1
−
x
2
{\displaystyle y\prime =-{1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
아크탄젠트
y
=
arctan
x
{\displaystyle y=\arctan x}
y
=
tan
−
1
x
{\displaystyle y=\tan ^{-1}x}
x = tan(y )모든 실수
−
π
2
<
y
<
π
2
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
y
′
=
1
1
+
x
2
{\displaystyle y\prime ={1 \over 1+x^{2}}}
아크코탄젠트
y
=
arccot
x
{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}
y
=
cot
−
1
x
{\displaystyle y=\cot ^{-1}x}
x = cot(y )모든 실수
0
<
y
<
π
{\displaystyle 0<y<\pi }
y
′
=
−
1
1
+
x
2
{\displaystyle y\prime =-{1 \over 1+x^{2}}}
아크시컨트
y
=
arcsec
x
{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x}
y
=
sec
−
1
x
{\displaystyle y=\sec ^{-1}x}
x = sec(y )
x
≤
−
1
{\displaystyle x\leq -1}
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
0
≤
y
<
π
2
{\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}}
π
2
<
y
≤
π
{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }
y
′
=
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle y\prime ={1 \over \left\vert x\right\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}}
아크코시컨트
y
=
arccsc
x
{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x}
y
=
csc
−
1
x
{\displaystyle y=\csc ^{-1}x}
x = csc(y )
x
≤
−
1
{\displaystyle x\leq -1}
x
≥
1
{\displaystyle x\geq 1}
−
π
2
≤
y
<
0
{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y<0}
0
<
y
≤
π
2
{\displaystyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}}
y
′
=
−
1
|
x
|
x
2
−
1
{\displaystyle y\prime =-{1 \over \left\vert x\right\vert {\sqrt {x^{2}-1}}}}
일부 저자는 아크시컨트의 치역이 (
0
≤
y
<
π
/
2
{\displaystyle 0\leq y<\pi /2}
π
<
y
≤
3
π
/
2
{\displaystyle \pi <y\leq 3\pi /2}
tan
(
arcsec
(
x
)
)
=
x
2
−
1
{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{2}-1}}}
0
≤
y
<
π
/
2
{\displaystyle 0\leq y<\pi /2}
π
/
2
<
y
≤
π
{\displaystyle \pi /2<y\leq \pi }
tan
(
arcsec
(
x
)
)
=
±
x
2
−
1
{\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{2}-1}}}
0
≤
y
<
π
/
2
{\displaystyle 0\leq y<\pi /2}
π
/
2
<
y
≤
π
{\displaystyle \pi /2<y\leq \pi }
−
π
<
y
≤
−
π
/
2
{\displaystyle -\pi <y\leq -\pi /2}
0
<
y
≤
π
/
2
{\displaystyle 0<y\leq \pi /2}
정의역을 복소수 로 두게 되면 위에서 치역의 범위는 실수부 의 범위가 된다.
데카르트 좌표계 에서 아크탄젠트를 구하는 이변수 함수 인
atan2
{\displaystyle \operatorname {atan2} }
atan2
(
y
,
x
)
=
{
arctan
(
y
x
)
x
>
0
arctan
(
y
x
)
+
π
y
≥
0
,
x
<
0
arctan
(
y
x
)
−
π
y
<
0
,
x
<
0
π
2
y
>
0
,
x
=
0
−
π
2
y
<
0
,
x
=
0
undefined
y
=
0
,
x
=
0
{\displaystyle \operatorname {atan2} (y,x)={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\quad x>0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)+\pi &\quad y\geq 0,\;x<0\\\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)-\pi &\quad y<0,\;x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\quad y>0,\;x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\quad y<0,\;x=0\\{\text{undefined}}&\quad y=0,\;x=0\end{cases}}}
