체론 과 모형 이론 에서 실폐체 (實閉體, 영어 : real closed field )는 실수체 와 기본 동치 인 체 이다.
체
K
{\displaystyle K}
동치 이며, 이를 만족시키는 체를 실폐체 라고 한다.
K
{\displaystyle K}
1차 논리 언어
(
K
,
+
,
−
,
0
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (K,+,-,0,\cdot ,1)}
실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
1차 논리 언어
(
R
,
+
,
−
,
0
,
⋅
,
1
)
{\displaystyle (\mathbb {R} ,+,-,0,\cdot ,1)}
기본 동치 이다.모든 홀수 차수 다항식은 적어도 하나의 근을 가지며, 또한
K
{\displaystyle K}
전순서
≤
{\displaystyle \leq }
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
순서체 를 이룬다.모든 양의 원소는 제곱수이다. 즉,
∀
a
∈
K
:
(
a
>
0
⟹
∃
b
∈
K
:
a
=
b
2
)
{\displaystyle \forall a\in K\colon \left(a>0\implies \exists b\in K\colon a=b^{2}\right)}
K
{\displaystyle K}
전순서
≤
{\displaystyle \leq }
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
순서체 를 이룬다.
≤
{\displaystyle \leq }
K
{\displaystyle K}
대수적 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
[
L
:
K
]
>
1
{\displaystyle [L:K]>1}
L
{\displaystyle L}
전순서
≤
L
{\displaystyle \leq _{L}}
(
L
,
≤
L
)
{\displaystyle (L,\leq _{L})}
순서체 를 이룬다면,
≤
L
|
K
×
K
≠≤
{\displaystyle \leq _{L}|_{K\times K}\neq \leq }
K
{\displaystyle K}
전순서
≤
{\displaystyle \leq }
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
순서체 를 이룬다.모든 다항식 에 대하여 중간값 정리 가 성립한다. 즉, 임의의
p
∈
K
[
x
]
{\displaystyle p\in K[x]}
a
,
b
∈
K
{\displaystyle a,b\in K}
c
~
∈
K
{\displaystyle {\tilde {c}}\in K}
a
≤
b
{\displaystyle a\leq b}
f
(
a
)
≤
c
~
≤
f
(
b
)
{\displaystyle f(a)\leq {\tilde {c}}\leq f(b)}
f
(
c
)
=
c
~
{\displaystyle f(c)={\tilde {c}}}
a
≤
c
≤
b
{\displaystyle a\leq c\leq b}
c
∈
K
{\displaystyle c\in K}
K
{\displaystyle K}
대수적으로 닫힌 체 가 아니며, 또한
K
¯
/
K
{\displaystyle {\bar {K}}/K}
유한 확대 이다.
K
{\displaystyle K}
대수적으로 닫힌 체 가 아니며, 확대체
K
(
−
1
)
{\displaystyle K({\sqrt {-1}})}
대수적으로 닫힌 체 이다.
K
{\displaystyle K}
대수적 폐포 속에서 극대 형식적 실체 (영어 : formally real field )이다. 즉,
K
{\displaystyle K}
형식적 실체 이며, 임의의 대수적 확대
L
/
K
{\displaystyle L/K}
[
L
:
K
]
>
1
{\displaystyle [L:K]>1}
L
{\displaystyle L}
실폐체
K
{\displaystyle K}
전순서 를 주어 순서체 로 만들 수 있다.
a
≤
b
⟺
∃
c
∈
K
:
a
+
c
2
=
b
{\displaystyle a\leq b\iff \exists c\in K\colon a+c^{2}=b}
아르틴-슈라이어 정리 (영어 : Artin–Schreier theorem )에 따르면, 임의의 순서체
(
K
,
≤
)
{\displaystyle (K,\leq )}
대수적 폐포
K
¯
{\displaystyle {\bar {K}}}
K
≤
K
re
≤
K
¯
{\displaystyle K\leq K^{\operatorname {re} }\leq {\bar {K}}}
K
re
{\displaystyle K^{\operatorname {re} }}
K
re
{\displaystyle K^{\operatorname {re} }}
전순서
≤
K
re
{\displaystyle \leq _{K^{\operatorname {re} }}}
K
{\displaystyle K}
≤
{\displaystyle \leq }
이 경우
K
re
{\displaystyle K^{\operatorname {re} }}
K
{\displaystyle K}
실폐포 (實閉包, 영어 : real closure )라고 한다.
다음과 같은 체들은 실폐체를 이룬다.
실수인 대수적 수 들의 체
Q
¯
∩
R
{\displaystyle {\bar {\mathbb {Q} }}\cap \mathbb {R} }
계산 가능한 수 의 체정의 가능한 수 의 체실수체
R
{\displaystyle \mathbb {R} }
모든 초실수체
실수 계수의 퓌죄 급수 들의 체
R
(
(
x
,
x
1
/
2
,
x
1
/
3
,
x
1
/
4
,
…
)
)
{\displaystyle \mathbb {R} ((x,x^{1/2},x^{1/3},x^{1/4},\dots ))}
Rajwade, A. R. (1993). 《Squares》. London Mathematical Society Lecture Note Series (영어) 171 . Cambridge University Press. ISBN 0-521-42668-5 Zbl 0785.11022 . 
![{\displaystyle [L:K]>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8b9b1e23889946f26cc4a2de8c8ce9d9eae0d18)
![{\displaystyle p\in K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f209a0138930b769ca3c23906c6c4a33f547e78d)
