무게 (표현론)

리 대수 이론에서, 무게(영어: weight)는 리 대수의 표현을 분류하는 일련의 수들이다.

정의

체 $K$ 에 대한 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{\vee }$ 는 다음 성질을 만족시키는 $K$ -선형 범함수이다. (여기서 $(-)^{\vee }$ 는 쌍대 공간이다.)

\lambda ([a,b])=0\qquad \forall a,b\in {\mathfrak {g}}

무게는 리 괄호에 대하여 0이므로, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 무게는 그 가환화 ${\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]$ 의 무게로 제한될 수 있다. 즉, ${\mathfrak {g}}$ 의 무게는 $({\mathfrak {g}}/[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])^{*}$ 의 원소를 정의한다.

무게 가군

다음이 주어졌다고 하자.

체 $K$
$K$ -리 대수 ${\mathfrak {g}}$
${\mathfrak {g}}$ 의 표현 ${\mathfrak {g}}\to \operatorname {\mathfrak {gl}} (V;K)$
${\mathfrak {g}}$ 의 무게 $\lambda \in {\mathfrak {g}}^{*}$

그렇다면, $V$ 속의, 무게 $\lambda$ 의 무게 공간(영어: weight space) $V_{\lambda }$ 는 $V$ 의 다음과 같은 부분 공간이다.

V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon av=\lambda (a)v\}

$V_{\lambda }\neq \{0\}$ 이라면 $\lambda$ 를 $V$ 의 무게라고 하고, 무게 공간의 원소를 무게 벡터(영어: weight vector)라고 한다.

만약 $V$ 가 그 무게 공간들의 직합이라면, $V$ 를 ${\mathfrak {g}}$ 의 무게 가군(-加群, 영어: weight module)이라고 한다.

마찬가지로, 다음을 정의하자. $V$ 속의, 무게 $\lambda$ 의 일반화 무게 공간(영어: generalized weight space) $V_{\lambda }$ 는 $V$ 의 다음과 같은 부분 공간이다.^[1]^:130

V_{\lambda }=\{v\in V\colon \forall a\in {\mathfrak {g}}\colon \exists n\in \mathbb {Z} ^{+}\colon (a-\lambda (a))^{n}v=v\}

$V_{\lambda }\neq \{0\}$ 이라면 $\lambda$ 를 $V$ 의 일반화 무게(영어: generalized weight)라고 하고, 무게 공간의 원소를 일반화 무게 벡터(영어: generalized weight vector)라고 한다. (유한 차원 $V$ 의 경우 사실 항상 $n=\dim V$ 로 잡을 수 있다.)

마찬가지로, 일반화 무게 공간들의 직합으로 표현되는 표현을 일반화 무게 가군(영어: generalized weight module)이라고 한다.

성질

복소수체 위의 유한 차원 멱영 리 대수 ${\mathfrak {n}}$ 의 모든 유한 차원 표현은 항상 일반화 무게 가군이다.^[1]^{:130, Proposition II.2.4}

복소수체 위의 유한 차원 아벨 리 대수 ${\mathfrak {a}}$ 의 모든 유한 차원 표현은 항상 무게 가군이다.

반단순 리 대수의 카르탕 부분 대수의 무게

만약 ${\mathfrak {g}}$ 가 복소수체 위의 유한 차원 반단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 를 고르자. $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]={\mathfrak {g}}$ 이므로, ${\mathfrak {g}}$ 위의 모든 무게는 자명하다. 그러나 아벨 리 대수 ${\mathfrak {h}}$ 는 (물론) 자명하지 않을 수 있다. 이 경우, ${\mathfrak {g}}$ 의 모든 유한 차원 표현은 ( ${\mathfrak {h}}$ 에 제한되었을 때) ${\mathfrak {h}}$ 의 무게 가군을 이룬다.

딸림표현 $V={\mathfrak {g}}$ 의 ${\mathfrak {h}}$ -무게들을 ${\mathfrak {g}}$ 의 근(根, 영어: root)이라고 하며, 이들은 ${\mathfrak {h}}^{*}$ 의 벡터들의 집합으로서 근계를 이룬다. 근 $\lambda$ 에 대응하는 쌍대근(雙對根, 영어: coroot) $\lambda ^{\vee }\in {\mathfrak {h}}$ 은

\lambda ^{\vee }={\frac {2\lambda }{\langle \lambda ,\lambda \rangle }}

이다.

단순 리 대수의 무게

${\mathfrak {g}}$ 가 복소수체 위의 유한 차원 단순 리 대수라고 하고, 그 카르탕 부분 대수 ${\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}$ 를 고르자. ${\mathfrak {g}}$ 의 정수 무게(整數-, 영어: integral weight) $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ 는 다음 조건을 만족시키는 무게이다.

모든 쌍대근 $\gamma ^{\vee }=2\gamma /\langle \gamma ,\gamma \rangle$ 에 대하여, $\lambda (\gamma ^{\vee })\in \mathbb {Z}$ . (다시 말해, 모든 근 $\gamma$ 에 대하여, $2\langle \lambda ,\gamma \rangle /\langle \gamma ,\gamma \rangle \in \mathbb {Z}$ .)

정수 무게들의 집합 $P({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \mathbb {h}$ 는 (덧셈군으로서) $\mathbb {Z} ^{\oplus \dim {\mathfrak {h}}}$ 와 동형이며, 이를 정수 무게 격자(영어: integral weight lattice)라고 한다.

${\mathfrak {g}}$ 의 근계의 양근 $\Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ 및 이를 생성하는 단순근 $\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})\subseteq \Delta ^{+}({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})$ 를 고르자. 그렇다면, ${\mathfrak {g}}$ 의 기본 무게(基本-, 영어: fundamental weight) $\lambda _{i}$ 는 (선택한 양근 집합에 대한) 단순근에 대응되는 쌍대근들의 집합의 쌍대 기저의 원소이다. 즉, 단순근 집합 $\operatorname {S} ({\mathfrak {g}},{\mathfrak {h}})=(\alpha _{i})_{i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {h} }\}}$ 에 대하여 다음 조건을 만족시키는 무게 $(\omega _{i})_{i\in \{1,\dotsc ,\dim _{\mathbb {h} }\}}\subseteq {\mathfrak {h}}$ 이다.

2{\frac {\langle \omega _{i},\alpha _{j}\rangle }{\langle \alpha _{j},\alpha _{j}\rangle }}=\delta _{ij}

이에 따라, 정수 무게는 기본 무게의 정수 계수 선형 결합이 된다.

${\mathfrak {g}}$ 의 우세 무게(優勢-, 영어: dominant weight)는 기본 무게의 음이 아닌 실수 계수 선형 결합이다. 즉, 무게 $\gamma \in {\mathfrak {h}}$ 가 우세 무게가 될 필요 충분 조건은 모든 양근 (또는 단순근) $\alpha$ 에 대하여

\langle \gamma ,\alpha \rangle \geq 0

인 것이다. ${\mathfrak {g}}$ 의 우세 정수 무게(優勢-, 영어: dominant integral weight)는 기본 무게들의 음이 아닌 정수 계수의 선형 결합이다. 우세 무게들의 닫힌집합(즉, 우세 정수 무게들의 볼록포)를 기본 바일 방(영어: fundamental Weyl chamber)이라고 한다.

즉, 다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

무게	⊃	정수 무게	⊃	근	⊃	양근	⊃	단순근
∪		∪
우세 무게	⊃	우세 정수 무게	⊃	기본 무게
		⟒
		영벡터 (0)

여기서

밑줄로 강조된 것들은 양근의 선택에 의존하지만, 나머지는 그렇지 않다.
기울어지게 쓰인 것들은 유한 집합이며, 나머지는 무한 집합이다.

예

다음과 같은 A₂ 근계를 생각하자.

여기서

평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
삼각형 격자의 모든 꼭짓점은 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
굵게 칠해진 꼭짓점들은 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
굵게 칠해진 꼭짓점들의 볼록포인 60° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
화살표의 머리들( $\pm \gamma _{1}$ , $\pm \gamma _{2}$ , $\pm (\gamma _{1}+\gamma _{2})$ )은 근이다. (즉, 총 6개의 근이 있다.)
양근은 $\gamma _{1}$ , $\gamma _{2}$ , $\gamma _{1}+\gamma _{2}$ 이다. (즉, 총 3개의 양근이 있다.)
단순근은 $\gamma _{1}$ , $\gamma _{2}$ 이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
기본 무게는 $\omega _{1}$ , $\omega _{2}$ 이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

다음과 같은 B₂ 근계를 생각하자.

여기서

평면의 모든 점은 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
격자 $\mathbb {Z} \alpha +\mathbb {Z} \beta /2$ 의 원소는 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
$\mathbb {N} (\alpha +\beta )+\mathbb {N} (\alpha +\beta /2)$ 의 원소는 우세 정수 무게이다. (즉, 그 수는 가산 무한 개이다.)
제1사분면의 점 가운데, y좌표가 x좌표보다 더 큰 점들로 구성된 45° 부채꼴 속의 점은 우세 무게이다. (즉, 그 수는 비가산 무한 개이다.)
화살표의 머리들( $\pm \alpha$ , $\pm \beta$ , $\pm (\alpha +\beta )$ $\pm (2\alpha +\beta )$ )은 근이다. (즉, 총 8개의 근이 있다.)
양근은 $\alpha$ , $\beta$ , $\alpha +\beta$ , $2\alpha +\beta$ 이다. (즉, 총 4개의 양근이 있다.)
단순근은 $\alpha$ , $\beta$ 이다. (즉, 총 2개의 단순근이 있다.)
기본 무게는 $\alpha +\beta$ , $\alpha +\beta /2$ 이다. (즉, 총 2개의 기본 무게가 있다.)

같이 보기

각주

↑ ^가 ^나 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

Fulton, William; Harris, Joe (1991). 《Representation theory: a first course》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 129. Springer. doi:10.1007/978-1-4612-0979-9. ISBN 978-3-540-00539-1. ISSN 0072-5285. MR 1153249. Zbl 0744.22001.

외부 링크

“Weight of a representation of a Lie algebra”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra weight”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Lie algebra root”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Root lattice”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
“Weight (in representation theory)”. 《nLab》 (영어).
“Root (in representation theory)”. 《nLab》 (영어).

[Knapp-1] 가 ^나 Knapp, Anthony W. (2002). 《Lie groups beyond an introduction》. Progress in Mathematics (영어) 140 2판. Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4259-5. MR 1920389. Zbl 1075.22501. CS1 관리 - 추가 문구 (링크)

[1]