모듈러성 정리

대수기하학과 수론에서 모듈러성 정리(영어: modularity theorem) 또는 다니야마-시무라-베유 추측(영어: Taniyama–Shimura-Weil conjecture)은 타원곡선과 고전 모듈러 곡선의 관계에 대한 정리다.^[1]

정의

모듈러성 정리는 다음과 같다.

모든 유리 타원곡선은 정수 계수 유리 함수를 통한 모듈러 곡선

X_{0}(N)

의 상으로 나타낼 수 있다.

여기서 $X_{0}(N)$ 은 합동 부분군 $\Gamma _{0}(N)$ 에 대한 콤팩트 모듈러 곡선이고, $N$ 은 타원곡선에 따라 다른 양의 정수다.

연관된 성질

모듈러성 정리에 의해 해석학적인 다음 성질이 성립한다. 유리 타원 곡선 $E/\mathbb {Q}$ 의 하세-베유 L-함수

L(s,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}/n^{s}

가 주어지면, 그 계수로부터 다음과 같은 생성함수를 정의할 수 있다.

f(\tau ,E)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\exp(2\pi in\tau )

그렇다면, 모듈러성 정리에 따라서 $f$ 는 무게(weight)가 2이고 준위(level)가 N인 모듈러 형식이다. 또한, 이 모듈러 형식은 모든 헤케 연산자(영어판)에 대한 고유 형식이다.

역사

다니야마 유타카가 1956년 (약간의 오류를 포함한 형태로) 추측하였다. 그 뒤 다니야마와 시무라 고로는 이 추측을 계속 연구하여, 1957년 엄밀한 형태의 추측을 발표하였다. 1967년 앙드레 베유가 독자적으로 이 추측을 발견하였고,^[2] 이 추측은 "다니야먀-시무라(-베유) 추측"으로 알려지게 되었다.

1986년 게르하르트 프라이(Gerhard Frey)가 모듈러성 정리(당시 다니야마-시무라 추측)을 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있을 수 있다고 추측하면서,^[3] 이 추측이 주목받기 시작했다.

1995년 앤드루 와일스와 리처드 로런스 테일러가 준안정(semistable) 타원곡선에 대하여 모듈러성 정리를 증명하였다.^[4]^[5] 이를 사용하여 페르마의 마지막 정리를 증명할 수 있다. 와일스의 증명을 기반으로 하여, 프레드 다이아몬드(영어판), 크리스토프 브뢰이(영어판), 브라이언 콘래드(영어판), 리처드 로런스 테일러가 모듈러성 정리 전체를 증명하였다.^[6]^[7]^[8]^[9]

각주

↑ Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.
↑ Weil, André (1967). “Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 168: 149–156. doi:10.1007/BF01361551. ISSN 0025-5831. MR 0207658.
↑ Frey, Gerhard (1986). “Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations”. 《Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae》 1 (1): iv+40. ISSN 0933-8268. MR 853387.
↑ Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's last theorem”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 141 (3): 443–551. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118559. MR 1333035.
↑ Taylor, Richard; Andrew Wiles (1995). “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 141 (3): 553–572. doi:10.2307/2118560. ISSN 0003-486X. MR 1333036.
↑ Diamond, Fred (1996). “On deformation rings and Hecke rings”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 144 (1): 137–166. doi:10.2307/2118586. ISSN 0003-486X. MR 1405946.
↑ Conrad, Brian; Fred Diamond, Richard Taylor (1999). “Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 12 (2): 521–567. doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8. ISSN 0894-0347. MR 1639612.
↑ Breuil, Christophe; Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor (2001). “On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8. ISSN 0894-0347. MR 1839918.
↑ Darmon, Henri (1999). “A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (11): 1397–1401. ISSN 0002-9920. MR 1723249.

Lang, Serge (1995). “Some history of the Shimura–Taniyama conjecture” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 42 (11): 1301–1307.
Gouvêa, Fernando Q. (1994). ““A marvelous proof””. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 101 (3): 203–222. doi:10.2307/2975598. JSTOR 2975598.
Mazur, B. (1991). “Number theory as gadfly”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 98 (7): 593–610. doi:10.2307/2324924. JSTOR 2324924.

외부 링크

Darmon, H. (2001). “Shimura-Taniyama conjecture”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Taniyama-Shimura Conjecture”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.
박지훈 (2010년 9월 1일). “갈루아 표현, 보형 형식 그리고 시무라 다양체: 대수ㆍ해석ㆍ기하의 연결고리를 찾아서” (264). 포항공대신문.
이철희. “타니야마-시무라 추측(정리)”. 《수학노트》.

[1] Diamond, Fred; Jerry Shurman (2005). 《A first course in modular forms》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 228. Springer. doi:10.1007/b138781. ISBN 978-0-387-23229-4. ISSN 0072-5285. Zbl 1062.11022.

[2] Weil, André (1967). “Über die Bestimmung Dirichletscher Reihen durch Funktionalgleichungen”. 《Mathematische Annalen》 (독일어) 168: 149–156. doi:10.1007/BF01361551. ISSN 0025-5831. MR 0207658.

[3] Frey, Gerhard (1986). “Links between stable elliptic curves and certain Diophantine equations”. 《Annales Universitatis Saraviensis. Series Mathematicae》 1 (1): iv+40. ISSN 0933-8268. MR 853387.

[4] Wiles, Andrew (1995). “Modular elliptic curves and Fermat's last theorem”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 141 (3): 443–551. ISSN 0003-486X. JSTOR 2118559. MR 1333035.

[5] Taylor, Richard; Andrew Wiles (1995). “Ring-theoretic properties of certain Hecke algebras”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 141 (3): 553–572. doi:10.2307/2118560. ISSN 0003-486X. MR 1333036.

[6] Diamond, Fred (1996). “On deformation rings and Hecke rings”. 《Annals of Mathematics (2nd series)》 (영어) 144 (1): 137–166. doi:10.2307/2118586. ISSN 0003-486X. MR 1405946.

[7] Conrad, Brian; Fred Diamond, Richard Taylor (1999). “Modularity of certain potentially Barsotti-Tate Galois representations”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 12 (2): 521–567. doi:10.1090/S0894-0347-99-00287-8. ISSN 0894-0347. MR 1639612.

[8] Breuil, Christophe; Brian Conrad, Fred Diamond, Richard Taylor (2001). “On the modularity of elliptic curves over Q: wild 3-adic exercises”. 《Journal of the American Mathematical Society》 (영어) 14 (4): 843–939. doi:10.1090/S0894-0347-01-00370-8. ISSN 0894-0347. MR 1839918.

[9] Darmon, Henri (1999). “A proof of the full Shimura-Taniyama-Weil conjecture is announced” (PDF). 《Notices of the American Mathematical Society》 (영어) 46 (11): 1397–1401. ISSN 0002-9920. MR 1723249.

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