극한 주기 궤도

동역학계 이론에서 극한 주기 궤도(極限週期軌道, 영어: limit cycle)는 주기 궤도 가운데 적어도 하나 이상의 다른 궤도의 극한 집합을 이루는 것이다.

정의

\phi \colon \mathbb {R} \times X\to X

\forall x\in X\colon \phi (0,x)=x

\forall t_{1},t_{2}\in \mathbb {R} \forall x\in X\colon \phi (t_{1},\phi (t_{2},x))=\phi (t_{1}+t_{2},x)

위의, 초기 조건 $x\in X$ 의 궤도(軌道, 영어: orbit)는 다음과 같은 꼴의 집합이다.

\gamma (x)=\{\phi (t,x)\colon t\in \mathbb {R} \}

이 동역학계의 주기 궤도(週期軌道, 영어: periodic orbit, cycle)는 다음 조건을 만족시키는 초기 조건 $x$ 에 대한 궤도이다.

\exists t\neq 0\colon \phi (t,x)=x

극한 주기 궤도는 다음 조건을 만족시키는 주기 궤도 $\gamma (x)$ 이다.

$\omega _{\pm }(y)=\gamma (x)$ 가 되는 $y\in X\setminus \gamma (x)$ 가 존재한다.

여기서 $\omega _{\pm }$ 은 안정 또는 불안정 극한 집합이다.

극한 주기 궤도 $\gamma (x)$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U\supset \gamma (x)$ 이 존재한다면, $\gamma (x)$ 를 안정 극한 주기 궤도(安定極限週期軌道, 영어: stable limit cycle)이라고 한다.

모든 $y\in U$ 에 대하여, $\omega _{+}(y)=\gamma (x)$

극한 주기 궤도 $\gamma (x)$ 에 대하여, 다음 조건을 만족시키는 근방 $U\supset \gamma (x)$ 이 존재한다면, $\gamma (x)$ 를 불안정 극한 주기 궤도(不安定極限週期軌道, 영어: unstable limit cycle)이라고 한다.

모든 $y\in U$ 에 대하여, $\omega _{-}(y)=\gamma (x)$

그러나 안정 극한 주기 궤도도, 불안정 극한 주기 궤도도 아닌 극한 주기 궤도가 존재한다. 안정 극한 주기 궤도는 끌개의 예이다.

참고 문헌

Moehlis, Jeff; Josic, Kresimir; Shea-Brown, Eric T. “Periodic orbit”. 《Scholarpedia》 (영어) 1 (7): 1358. doi:10.4249/scholarpedia.1358. ISSN 1941-6016.
Robinett, Rush D., III; Wilson, David G. (2008). “What is a limit cycle?”. 《International Journal of Control》 (영어) 81 (12): 1886–1900. doi:10.1080/00207170801927163.

외부 링크

“Limit cycle”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
Weisstein, Eric Wolfgang. “Limit cycle”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research.

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