수론 에서 가법 함수 (加法函數, 영어 : additive function )는 로그 함수 와 유사한 항등식을 만족시키는 수론적 함수 이다.
함수
f
:
Z
+
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }
만약 임의의
m
,
n
∈
Z
+
{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}
gcd
{
m
,
n
}
=
1
{\displaystyle \gcd\{m,n\}=1}
f
(
m
n
)
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
{\displaystyle f(mn)=f(m)+f(n)}
f
{\displaystyle f}
가법 함수 라고 한다.[ 1] :257
만약 임의의
m
,
n
∈
Z
+
{\displaystyle m,n\in \mathbb {Z} ^{+}}
f
(
m
n
)
=
f
(
m
)
+
f
(
n
)
{\displaystyle f(mn)=f(m)+f(n)}
f
{\displaystyle f}
완전 가법 함수 라고 한다. 만약
f
:
Z
+
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }
f
(
1
)
=
0
{\displaystyle f(1)=0}
[ 1] :257
만약
f
:
Z
+
→
C
{\displaystyle f\colon \mathbb {Z} ^{+}\to \mathbb {C} }
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
n
=
∏
p
p
n
p
{\displaystyle n=\prod _{p}p^{n_{p}}}
라면, 다음이 성립한다.[ 1] :258
f
(
n
)
=
∑
p
f
(
p
n
p
)
{\displaystyle f(n)=\sum _{p}f(p^{n_{p}})}
다음과 같은 함수들은 완전 가법 함수이다.
양의 정수로 제한된 로그 함수
n
↦
ln
n
{\displaystyle n\mapsto \ln n}
중복도를 고려한 소인수의 개수
n
↦
Ω
(
n
)
{\displaystyle n\mapsto \Omega (n)}
OEIS 의 수열 A001222 )
중복도를 고려한 소인수의 합
n
↦
sopfr
(
n
)
{\displaystyle n\mapsto \operatorname {sopfr} (n)}
OEIS 의 수열 A001414 ) 다음과 같은 함수들은 가법 함수이지만, 완전 가법 함수가 아니다.
서로 다른 소인수의 개수
n
↦
ω
(
n
)
{\displaystyle n\mapsto \omega (n)}
OEIS 의 수열 A001221 )
서로 다른 소인수의 합
n
↦
sopf
(
n
)
{\displaystyle n\mapsto \operatorname {sopf} (n)}
OEIS 의 수열 A008472 )
↑ 가 나 다 Subbarao, M. V. (1968년 3월). “A Class of Additive Functions”. 《The American Mathematical Monthly》 (영어) 75 (3): 257-260. ISSN 0002-9890 . JSTOR 2314954 .
