整拡大

可換環論において、可換環 B とその部分環 A について、B の元 b が A 係数のモニック多項式の根であるとき、b は A 上整である（integral over A）という。B のすべての元が A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大（integral extension）であるという。本記事において、環とは単位元をもつ可換環のこととする。

定義

B を環、A をその部分環とする。b ∈ B が A 上整であるとは、

b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\dotsb +a_{1}b+a_{0}=0

を満たす自然数 n ≥ 1 と A の元 a₀, …, a_n−1 が存在することである。B の元がすべて A 上整であるとき、B は A 上整である、または、B は A の整拡大であるという。

B の元で A 上整であるものすべてのなす集合は B の部分環となり、これを B における A の整閉包という。B における A の整閉包が A 自身であるとき、A は B において整閉であるという。

A と B が体のとき、整、整拡大、整閉包はそれぞれ、代数的、代数拡大、代数的閉包と呼ばれる。

例

整数環 Z 上整な有理数体 Q の元は整数しかない。言い換えると、Z は Z の Q における整閉包である。
ガウス整数、すなわち $a+b{\sqrt {-1}},a,b\in \mathbf {Z}$ の形の複素数は、Z 上整である。 $\mathbf {Z} [{\sqrt {-1}}]$ が Z の $\mathbf {Q} ({\sqrt {-1}})$ における整閉包である。
Z の $\mathbf {Q} ({\sqrt {5}})$ における整閉包は、 $(a+b{\sqrt {5}})/2$ の形の元からなる。ただし、a と b は整数であって、 $a^{2}-5b^{2}$ は4の倍数である。この例と直前の例は二次の整数(quadratic integer)の例である。
ζ を1の冪根とすると、円分体 Q(ζ) における Z の整閉包は Z[ζ] である^[1]。
Z の複素数体 C における整閉包は代数的整数の環と呼ばれる。
${\overline {k}}$ が体 k の代数的閉包であれば、多項式環 ${\overline {k}}[x_{1},\dots ,x_{n}]$ は $k[x_{1},\dots ,x_{n}]$ 上整である。
有限群 G が環 A に作用しているとする。このとき A は G によって固定される元の集合 A^G 上整である。ring of invariants を見よ。
任意の環において1の冪根と冪零元は Z 上整である。
R を環とし、u を R を含む環における単位元とする。このとき^[2]