外部 (位相空間論)

位相空間論の概念

位相空間論において位相空間 $X$ の部分集合 $S$ の外部（がいぶ、英: exterior）とは、その補集合 $S c$ の内部 $(S c) i$ のことである。これを記号 $S e$ で表す^[1]。また集合 $S$ の閉包 $S a$ の補集合 $(S a) c$ と定義してもよい^[1]。

外部 $S e$ に属する点を集合 $S$ の外点（がいてん、英: exterior point）と呼ぶ。

外部作用素は以下の性質（公理）を満たし、集合に位相を与える方法として採用することもできる^[2]。

$\emptyset e = X$
$S e \subseteq S c$
$S e = ((S e) c) e$
$(S \cup T) e = S e \cap T e$

特徴

$S e$ は $S$ と交わりのない最大の開集合である。
$S \subseteq T \Rightarrow S e \supseteq T e$
$S i = (S c) e$
$S$ が閉集合である ⇔ $S e = S c$
$(S e) e \supseteq S i$

脚注

^ ^a ^b Steen & Seebach 1995, p. 7.
^ Pervin 1964, p. 44.

参考文献

Pervin, William J. (1964). Foundations of General Topology. Academic Press Textbooks in Mathematics. Academic Press. MR 0165477. Zbl 0117.39701
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur, Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology. Dover. ISBN 0-486-68735-X. MR1382863. Zbl 1245.54001

関連項目

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