Solido di rotazione

Un toro

In matematica, e in particolare in geometria, un solido di rotazione o di rivoluzione è la figura ottenuta ruotando attorno ad un asse $n$ una regione piana $K$, sul cui piano giace l'asse stesso.

Ad esempio, il toro è ottenuto dalla rotazione di un cerchio attorno ad un asse esterno al cerchio medesimo.

Solidi ottenuti dalla rotazione di trapezoidi

La figura piana che ruota è spesso un trapezoide con la base sull'asse. La sfera ad esempio è il solido di rotazione del semicerchio intorno al diametro; il cilindro è generato dal rettangolo.

Rotazione di una curva

In questo caso il solido è delimitato da una superficie laterale ottenuta ruotando una curva attorno all'asse (superficie di rotazione), ed eventualmente da due basi circolari perpendicolari a tale asse.

Definizione come luogo di punti

A meno di rotazioni dello spazio tridimensionale, l'asse si può considerare coincidente con $x$ in modo da poter esprimere il solido in coordinate cilindriche:

$T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|\ a\leq x\leq b\land 0\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\},$

dove $a$ e $b$ sono due valori reali con $a<b$, la funzione $\rho =\rho (y,z)={\sqrt {y^{2}+z^{2}}}$ è il raggio del cilindro di asse $x$ e la funzione $f\colon [a,b]\to \mathbb {R}$ è una funzione non negativa e continua, il cui grafico è la curva della definizione che giace sul piano $xy$.

Volume e superficie

Il volume $V$ del solido $T$ si può ottenere idealmente "tagliandolo" in dischi di spessore "infinitesimo" $dx$ lungo l'asse $x$ (teorema di Fubini). Il disco corrispondente a $x$ ha volume uguale all'area del cerchio di raggio $f(x)$ moltiplicata per lo spessore $dx$. Quindi sommando i vari contributi infinitesimi $dx$ (ovvero integrando) si ha

$V=\int _{a}^{b}\pi f(x)^{2}\,dx.$

La superficie è invece data da:

$A=2\pi \int _{a}^{b}f(x){\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\,dx.$

Se il solido è dato da

$T=\{(x,y,z)\in \mathbb {R} ^{3}|\ a\leq x\leq b\land 0\leq g(x)\leq {\sqrt {y^{2}+z^{2}}}\leq f(x)\},$

cioè la figura da ruotare è compresa tra due funzioni non negative, allora il volume è

$V=\int _{a}^{b}\pi \left(f(x)^{2}-g(x)^{2}\right)dx.$

Il volume del solido, se ottenuto tramite rotazione rispetto all'asse $y$, con $a>0$, si può calcolare pensandolo come la somma delle superfici laterali dei cilindri di asse $y$, raggio $x$ e altezza $f(x)$. Quindi sommando rispetto a $dx$ (cioè integrando), si ha:

$V=2\pi \int _{a}^{b}xf(x)\,dx.$

Nel caso la figura da ruotare sia compresa tra due funzioni, allora si ha:

$V=2\pi \int _{a}^{b}x\vert f(x)-g(x)\vert \,dx.$

Voci correlate

• Cilindroide
• Integrale multiplo
• Teoria della misura

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Solido di rotazione, su MathWorld, Wolfram Research.

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