Relazione di dispersione

In fisica, la relazione (o legge) di dispersione è una relazione tra l'energia di un sistema e la sua corrispondente quantità di moto. Per esempio, per particelle di massa nello spazio vuoto, la relazione di dispersione può facilmente essere calcolata dalla definizione dell'energia cinetica:

E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {p^{2}}{2m}}

In questo caso la relazione di dispersione è una funzione quadratica.

In caso di fenomeni ondulatori la relazione di dispersione è espressa in termini della frequenza angolare $\omega$ in funzione del vettore d'onda $k$ . Ad esempio, la relazione di dispersione della luce è lineare:

\omega =ck

dove c è la velocità della luce.

Nella teoria della relatività ristretta, oltre all'energia cinetica, si considera anche l'energia a riposo $mc^{2}$ , dove $m$ è la massa a riposo:

E={\sqrt {(mc^{2})^{2}+(mv\gamma (v))^{2}}}

,

dove $\gamma (v)$ è il fattore di Lorentz e il secondo termine non è altro che la quantità di moto relativistica. Questa relazione è particolarmente utile in regime relativistico, ovvero quando ${\tfrac {v}{c}}\approx 1$ .

In meccanica quantistica le particelle possono essere descritte come onde. Secondo le relazioni proposte da Louis de Broglie l'energia e la quantità di moto sono legate alla frequenza e al vettore d'onda dalla costante $\hbar =h/2\pi$ , dove h è la costante di Planck:

E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k

.

In termini ondulatori, la relazione di dispersione di una particella libera diventa

\omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}

.

Legge di dispersione per PDE

Per una PDE lineare evolutiva si chiama legge di dispersione il legame che si trova tra $\omega$ e $k$ quando come soluzione della PDE inserisco l'ansatz $u(x,t)=e^{i(kx+\omega t)}$

Per l'equazione delle onde ${\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}u(x,t)-c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0$ , ottengo che la legge di dispersione è $\omega =\pm ck$ . Poiché è una relazione lineare e a coefficienti reali, l'equazione delle onde è detta essere non dispersiva.
Per l'equazione del calore ${\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)-D{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0$ (ove $D$ è il coefficiente di diffusione) ho che la legge di dispersione è $\omega =iDk^{2}$ . Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti complessi, l'equazione del calore è detta essere dissipativa.
Per l'equazione di Schrödinger $i{\frac {\partial }{\partial t}}u(x,t)-\epsilon {\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}u(x,t)=0$ ho che la legge di dispersione è $\omega =\epsilon k^{2}$ .Poiché è una relazione non lineare e a coefficienti reali, l'equazione di Schrödinger è detta essere dispersiva.