Principio di sovrapposizione

In matematica e in fisica, il principio di sovrapposizione stabilisce che per un sistema dinamico lineare l'effetto di una somma di perturbazioni in ingresso è uguale alla somma degli effetti prodotti da ogni singola perturbazione.

In altri termini, la risposta del sistema lineare $H$ ad una combinazione lineare $\alpha _{1}\mathbf {x_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {x_{2}} +\dots +\alpha _{n}\mathbf {x_{n}}$ di un certo numero di sollecitazioni linearmente indipendenti $\mathbf {x_{i}}$ , con $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ , può ottenersi sommando le singole risposte $H(\mathbf {x_{i}} )$ che ciascuna di esse produrrebbe se agisse da sola (quando cioè le altre sono nulle):

H(\alpha _{1}\mathbf {x_{1}} +\alpha _{2}\mathbf {x_{2}} +\dots +\alpha _{n}\mathbf {x_{n}} )=\alpha _{1}H(\mathbf {x_{1}} )+\alpha _{2}H(\mathbf {x_{2}} )+\dots +\alpha _{n}H(\mathbf {x_{n}} )

Il principio di sovrapposizione esprime la possibilità di scomporre un problema lineare. Se si è in grado di scrivere i dati di ingresso in più componenti linearmente indipendenti (ad esempio, in un moto a due dimensioni si possono considerare la componente verticale e la componente orizzontale) allora è possibile risolvere il problema analizzando separatamente ciascuna delle componenti: si calcola ogni singola risposta e poi si sommano le singole risposte secondo la stessa proporzione (ovvero con gli stessi coefficienti $\alpha _{i}$ ) in cui erano sommati i dati in ingresso.

Sistemi stazionari (LTI)

Dato un sistema lineare stazionario:

{\dot {x}}(t)=Ax(t)+Bu(t)

y(t)=Cx(t)+Du(t)

con $A$ , $B$ , $C$ e $D$ matrici non dipendenti dal tempo, sia $y_{i}(t)$ la risposta del sistema all'ingresso $u_{i}(t)$ quando il sistema è nello stato iniziale $x_{i}(t=0)$ .

Dato lo stato iniziale $x(0)=\alpha _{1}x_{1}(0)+\alpha _{2}x_{2}(0)$ , con $\alpha _{i}\in \mathbb {R}$ , il principio di sovrapposizione implica che ad un ingresso $u=\alpha _{1}u_{1}(t)+\alpha _{2}u_{2}(t)$ corrisponde l'uscita:

y(t)=\alpha _{1}y_{1}(t)+\alpha _{2}y_{2}(t)

Grazie a questo fatto l'uscita può essere espressa come la somma:

y(t)=y_{L}(t)+y_{F}(t)

della risposta libera $y_{L}$ e della risposta forzata $y_{F}$ . Utilizzando la trasformata di Laplace $L(s)$ si può anche scrivere, nello specifico:

L[y(t)](s)=Y(s)=Y_{L}(s)+Y_{F}(s)=F(s)x(0)+G(s)U(s)

dove $U$ è la trasformata di $u$ e le matrici $F$ e $G$ sono date da:

F(s)=C(sI-A)^{-1}\qquad G(s)=C(sI-A)^{-1}B+D

Il termine $Y_{L}$ è lineare rispetto a $x(0)$ e rappresenta la risposta del sistema quando l'ingresso è nullo: lo stato del sistema dipende quindi linearmente dallo stato iniziale $x(0)$ . Il termine $Y_{F}$ è la risposta del sistema quando lo stato iniziale è nullo, ed è pertanto una funzione lineare solo dell'ingresso $u$ .

Si ha infatti:

Y(s)=G(s)U(s)+F(s)x(0)=G(s)[\alpha _{1}U_{1}(s)+\alpha _{2}U_{2}(s)]+F(s)[\alpha _{1}x_{1}(0)+\alpha _{2}x_{2}(0)]=

=\alpha _{1}[G(s)U_{1}(s)+F(s)x_{1}(0)]+\alpha _{2}[G(s)U_{2}(s)+F(s)x_{2}(0)]=\alpha _{1}Y_{1}(t)+\alpha _{2}Y_{2}(t)

Applicazioni

Il principio si applica ogni qualvolta sia coinvolta una trasformazione lineare, come possono essere i sistemi di equazioni lineari e le equazioni differenziali lineari, sia ordinarie che alle derivate parziali. In presenza di un sistema:

Ax=b

dove $A$ è una matrice e $b$ un vettore, il principio afferma che se $y$ e $y_{0}$ sono soluzioni dei sistemi con termini noti $b$ e $b_{0}$ , allora $y+y_{0}$ risolve il sistema:

Ax=b+b_{0}

Fisica

I fenomeni naturali che rispettano il principio di sovrapposizione sono diversi; ad esempio le equazioni di Maxwell stabiliscono un legame lineare tra carica e campi magnetici, e quindi si può applicare il principio quando si deve descrivere l'interazione di più cariche.

Ingegneria

In teoria dei segnali, la sovrapposizione lineare è alla base dell'analisi di Fourier per la scomposizione e lo studio dei segnali elettrici.

Nell'ingegneria meccanica e ingegneria civile, l'uso della sovrapposizione degli effetti è utile nell'identificare la distribuzione dei carichi lungo una struttura, per evitare cedimenti.

Esempio

Nella risoluzione dell'equazione del calore $u_{tt}-\Delta u=0$ il metodo di separazione delle variabili fa uso del concetto di autovalore e autofunzione di un operatore differenziale ellittico e della sua decomposizione spettrale. Imponendo che la soluzione sia della forma $u(t,x)=f(t)g(x)$ (con $f(t)$ e $g(x)$ tra loro indipendenti) si giunge alla risoluzione del sistema:

\left\{{\begin{matrix}\Delta g=-\lambda _{k}g\\f'=\lambda _{k}f\end{matrix}}\right.

che ha come soluzioni $g_{k}(x)$ e $f_{k}(t)=f_{k}(0)e^{-\lambda _{k}t}$ , dove $g_{k}$ è un'autofunzione del laplaciano. Siccome è noto che, sotto certe ipotesi sui dati, l'insieme delle autofunzioni costituisce una base dello spazio funzionale ambiente, si ricostruisce infine la soluzione dell'equazione di partenza come:

u(t,x)=\sum _{k=1}^{\infty }u_{k}(t,x)=\sum _{k=1}^{\infty }g_{k}(x)f_{k}(t)

Bibliografia

(EN) N. K. Verma, Physics for Engineers, PHI Learning Pvt. Ltd., Oct 18, 2013, 592 pp. [1]
(EN) Tim Freegard, Introduction to the Physics of Waves, Cambridge University Press, Nov 8, 2012. [2]
(EN) Joseph Edward Shigley, Charles R. Mischke, Richard Gordon Budynas, Mechanical Engineering Design (2004) McGraw-Hill Professional, p. 192 ISBN 0-07-252036-1
(EN) Bathe, K. J., Finite Element Procedures , Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1996, p. 785 ISBN 0-13-301458-4