Matrice ortogonale

In matematica, e più precisamente in algebra lineare, una matrice ortogonale è una matrice invertibile tale che la sua trasposta coincide con la sua inversa.

Nel campo complesso, una matrice invertibile la cui trasposta coniugata coincide con l'inversa è detta matrice unitaria.

Definizione

Data una matrice invertibile $G$, indicando con $G^{T}$ la sua trasposta si definisce $G$ ortogonale se:

$GG^{T}=G^{T}G=I_{n}$

laddove $I_{n}$ è la matrice identità, ovvero la trasposta è l'inversa.

In modo equivalente, una matrice ortogonale è una matrice che rappresenta una isometria dello spazio euclideo, oppure è una matrice di cambiamento di base fra due basi ortonormali.

Si può ricavare che il numero di parametri indipendenti in una matrice ortogonale di dimensione $N$ è $N(N-1)/2$.

Proprietà

Basi ortonormali

Una matrice quadrata è ortogonale se e solo se le sue colonne formano una base ortonormale dello spazio euclideo $\mathbb {R} ^{n}$ con l'ordinario prodotto scalare. Questa proprietà è semplicemente la rilettura della relazione $G^{T}G=I_{n}$.

Rileggendo similmente la relazione $GG^{T}=I_{n}$, si ricava l'enunciato duale del precedente: una matrice quadrata reale è ortogonale se e solo se le sue righe formano una base ortonormale di $\mathbb {R} ^{n}$.

Isometrie

Geometricamente, le matrici ortogonali descrivono le trasformazioni lineari di $\mathbb {R} ^{n}$ che sono anche isometrie. Queste preservano il prodotto scalare dello spazio, e quindi gli angoli e le lunghezze. Ad esempio, le rotazioni e le riflessioni sono isometrie.

Viceversa, se $V$ è un qualsiasi spazio vettoriale di dimensione finita dotato di un prodotto scalare definito positivo, e $f:V\to V$ è un'applicazione lineare con:

$\langle f(x),f(y)\rangle =\langle x,y\rangle$

per tutti gli elementi $x$, $y$ di $V$, allora $f$ è una isometria ed è rappresentata in ogni base ortonormale di $V$ da una matrice ortogonale.

In uno spazio euclideo di dimensione 2 e 3, ogni matrice ortogonale esprime una rotazione intorno ad un punto o un asse, o una riflessione, o una composizione di queste due trasformazioni.

Gruppo ortogonale

Dalla definizione segue subito che l'inversa di ogni matrice ortogonale, cioè la sua trasposta, è anch'essa ortogonale.

Analogamente, il prodotto di due matrici ortogonali è una matrice ortogonale. Infatti:

$(GH)\cdot (GH)^{T}=GHH^{T}G^{T}=GG^{T}=I$

Questo dimostra che l'insieme delle matrici ortogonali $n\times n$ forma un gruppo rispetto all'operazione "moltiplicazione tra matrici/composizione di funzioni lineari", il gruppo ortogonale, che è un gruppo di Lie e viene indicato con $O(n)$.

La sua dimensione è $n(n-1)/2$. Intuitivamente, la dimensione è calcolata nel modo seguente: gli $n^{2}$ numeri di una matrice ortogonale sono vincolati dalle $n^{2}$ uguaglianze della definizione, ciascuna delle quali è caratterizzata da una coppia di indici $(i,j)$ che vanno da 1 a $n$, ma l'equazione relativa a $(i,j)$ con $i<j$ equivale a quella relativa a $(j,i)$ e quindi ci sono solo $n(n+1)/2$ equazioni indipendenti, e quindi $n(n-1)/2$ gradi di libertà.

Matrice ortogonale speciale

Il determinante di ogni matrice ortogonale è $1$ o $-1$. Questo si può dimostrare come segue:

$1=\det(I)=\det(G\cdot G^{T})=\det(G)\det(G^{T})=(\det(G))^{2}$

Una matrice ortogonale con determinante positivo si dice matrice ortogonale speciale.

L'insieme di tutte le matrici ortogonali speciali formano un sottogruppo di $O(n)$ di indice 2, chiamato gruppo ortogonale speciale e denotato $SO(n)$.

Autovalori e decomposizioni

Autovalori

Tutti gli autovalori di una matrice ortogonale, anche quelli complessi, hanno valore assoluto $1$. Autospazi relativi a differenti autovalori sono ortogonali tra loro.

Decomposizioni lungo piani

Data una matrice ortogonale $Q$, esiste una matrice ortogonale $P$, tale che:

$P^{-1}QP={\begin{pmatrix}R_{1}\\&R_{2}\\&&\ddots \\&&&R_{k}\\&&&&\pm 1\\&&&&&\ddots \\&&&&&&\pm 1\\\end{pmatrix}}$

dove $R_{1},\dots ,R_{k}$ denotano matrici di rotazione $2\times 2$. Intuitivamente, questo risultato dice che ogni matrice ortogonale descrive una combinazione di rotazioni e riflessioni su piani ortogonali. Le matrici $R_{1},\dots ,R_{k}$ corrispondono alle coppie di autovalori complessi coniugati di $Q$.

Decomposizione QR

Se $A$ è una arbitraria matrice di tipo $m\times n$ di rango $n$ (cioè $m\geq n$), si può sempre scrivere:

$A=Q{\begin{pmatrix}R\\0\end{pmatrix}}$

dove $Q$ è una matrice ortogonale di tipo $m\times n$ e $R$ è una matrice triangolare superiore di tipo $n\times n$ con valori positivi sulla diagonale principale. La decomposizione QR può essere dimostrata applicando l'ortogonalizzazione di Gram-Schmidt alle colonne di $A$.

Questa decomposizione risulta utile per risolvere numericamente i sistemi di equazioni lineari e i problemi di minimi quadrati.

Matrici ortogonali e rappresentazione delle algebre di Clifford

Alle matrici ortogonali si può attribuire un secondo significato geometrico che si collega alla rappresentazione matriciale delle algebre di Clifford. Ad esempio, i vettori della base canonica di $\mathbb {R} ^{2}$ sono $e_{1}=[1,0]$ e $e_{2}=[0,1]$ e un generico vettore $[x,y]$ di questo piano cartesiano si può scrivere:

$[x,y]=x[1,0]+y[0,1]$

La matrice ortogonale:

$E_{1}:={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}$

rappresenta la riflessione rispetto alla bisettrice $y=x$, poiché scambia le due componenti di ogni vettore piano:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}y&x\end{bmatrix}}$

La matrice ortogonale:

$E_{2}:={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}$

rappresenta invece la riflessione rispetto all'asse $x$, poiché il punto $[xy]$ ha come immagine $[x,-y]$:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x&-y\end{bmatrix}}$

Per i due prodotti di queste matrici si trova:

$E_{1}\times E_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&-1\\1&0\end{bmatrix}}$

$E_{2}\times E_{1}={\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}0&1\\1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}}$

Si tratta delle due rotazioni nel piano di $\pi /2$ e di $-\pi /2$, rotazioni opposte: quindi le due matrici $E_{i}$ anticommutano. In formule:

$E_{1}^{2}=E_{2}^{2}=I\qquad E_{1}E_{2}=-E_{2}E_{1}$

Si considerino ora $E_{1}$ ed $E_{2}$ come vettori di base del piano bidimensionale delle loro combinazioni lineari:

$(x,y):=xE_{1}+yE_{2}={\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}$

sfruttando la composizione:

$A\cdot B:={\frac {1}{2}}(AB+BA)$

si trova:

${\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}v&u\\u&-v\end{bmatrix}}={\frac {1}{2}}{\Biggl (}{\begin{bmatrix}xu+yv&yu-xv\\xv-yu&xu+yv\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}xu+yv&xv-yu\\yu-xv&xu+yv\end{bmatrix}}{\Biggr )}={\begin{bmatrix}xu+yv&0\\0&xu+yv\end{bmatrix}}$

Per il quadrato di una di queste entità in particolare:

${\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}y&x\\x&-y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x^{2}+y^{2}&0\\0&x^{2}+y^{2}\end{bmatrix}}$

Si può quindi definire come prodotto interno di $A$ e $B$ la precedente composizione, a meno della matrice unità $I_{2}$. Questo è lecito in quanto chiaramente si tratta di una forma bilineare simmetrica positiva. Il prodotto interno di una entità matriciale e vettoriale con sé stessa fornisce il quadrato della sua norma.

Dato che le entità base anticommutano si vede che:

$E_{1}\cdot E_{2}=0$

Le entità $E_{1}$ ed $E_{2}$ sono ortogonali secondo entrambe le loro interpretazioni: sono matrici ortogonali e rappresentano vettori di base ortogonali in quanto matrici anticommutative.

Matrici ortogonali trigonometriche

Matrice ortogonale 2×2

${\begin{bmatrix}\cos(\alpha )&\mp \sin(\alpha )\\\sin(\alpha )&\pm \cos(\alpha )\end{bmatrix}}$

Matrice ortogonale 3×3

${\begin{bmatrix}\cos(\alpha )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\alpha )\cos(\beta )&-\cos(\alpha )\sin(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )\\\cos(\alpha )\sin(\beta )\sin(\gamma )+\sin(\alpha )\cos(\gamma )&\cos(\alpha )\cos(\beta )&\cos(\alpha )\sin(\beta )\cos(\gamma )-\sin(\alpha )\sin(\gamma )\\\cos(\beta )\sin(\gamma )&-\sin(\beta )&\cos(\beta )\cos(\gamma )\end{bmatrix}}$

Queste matrici sono anche matrici di rotazione di coordinate. Utilizzando le equazioni di rotazione di uno spazio n-dimensionale si possono costruire matrici ortogonali trigonometriche di dimensione $n\times n$.

Bibliografia

• (EN) A.I. Mal'tsev, Foundations of linear algebra , Freeman (1963) (Translated from Russian)
• (EN) W. Noll, Finite dimensional spaces , M. Nijhoff (1987) pp. Sect. 43
• (EN) H.W. Turnball, A.C. Aitken, An introduction to the theory of canonical matrices , Blackie & Son (1932)
• (EN) Persi Diaconis, Mehrdad Shahshahani. The subgroup algorithm for generating uniform random variables. Prob. in Eng. and Info. Sci., vol. 1, 15–32, 1987. ISSN 0269-9648.
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• (EN) Gene H. Golub, Charles F. Van Loan. Matrix Computations, 3/e. Johns Hopkins University Press, Baltimore, 1996. ISBN 978-0-8018-5414-9.
• (EN) Nicholas Higham. Computing the Polar Decomposition—with Applications. SIAM Journal on Scientific and Statistical Computing, 7(4):1160–1174, 1986. ISSN 0196-5204. [2] Archiviato il 7 ottobre 2007 in Internet Archive.

Voci correlate

• Algebra di Clifford
• Gruppo ortogonale
• Matrice antisimmetrica
• Matrice normale
• Matrice simplettica
• Matrice trasposta coniugata
• Matrice unitaria
• Teorema di Schur-Horn

Collegamenti esterni

• matrice ortogonale, in Enciclopedia della Matematica, Istituto dell'Enciclopedia Italiana, 2013.
• (EN) Eric W. Weisstein, Matrice ortogonale, su MathWorld, Wolfram Research.
• (EN) Matrice ortogonale, su Encyclopaedia of Mathematics, Springer e European Mathematical Society.