Lista delle serie matematiche

Questa lista di serie contiene formule per sommatorie finite o infinite. Può essere usata con altri strumenti per valutare sommatorie.

Somme di potenze

$\sum _{i=1}^{n}i={\frac {n(n+1)}{2}}$
$\sum _{i=1}^{n}i^{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}={\frac {n^{3}}{3}}+{\frac {n^{2}}{2}}+{\frac {n}{6}}$
$\sum _{i=1}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}={\frac {n^{4}}{4}}+{\frac {n^{3}}{2}}+{\frac {n^{2}}{4}}=\left(\sum _{i=1}^{n}i\right)^{2}$
$\sum _{i=1}^{n}i^{4}={\frac {n(n+1)(2n+1)(3n^{2}+3n-1)}{30}}$
$\sum _{i=0}^{n}i^{s}={\frac {(n+1)^{s+1}}{s+1}}+\sum _{k=1}^{s}{\frac {B_{k}}{s-k+1}}{s \choose k}(n+1)^{s-k+1}$

dove $B_{k}$ è il $k$ -esimo numero di Bernoulli.

$\sum _{i=1}^{\infty }i^{-s}=\prod _{p{\text{ primo}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}=\zeta (s)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}=\zeta (2)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{4}}}={\frac {\pi ^{4}}{90}}=\zeta (4)$
$\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{6}}}={\frac {\pi ^{6}}{945}}=\zeta (6)$

dove $\zeta (s)$ è la zeta di Riemann.

Serie di potenze

Somma infinita (per $\|x\|<1$ )	Somma finita
$\sum _{k=0}^{\infty }x^{k}={\frac {1}{1-x}}$	$\sum _{k=m}^{n}x^{k}={\frac {x^{n+1}-x^{m}}{x-1}},\quad {\text{con }}x\neq 1.$
$\sum _{k=0}^{\infty }x^{2k}={\frac {1}{1-x^{2}}}$
$\sum _{i=1}^{\infty }ix^{i}={\frac {x}{(1-x)^{2}}}$	$\sum _{i=1}^{n}ix^{i}=x{\frac {1-x^{n}}{(1-x)^{2}}}-{\frac {nx^{n+1}}{1-x}}$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x)}{(1-x)^{3}}}$	$\sum _{i=1}^{n}i^{2}x^{i}={\frac {x(1+x-(n+1)^{2}x^{n}+(2n^{2}+2n-1)x^{n+1}-n^{2}x^{n+2})}{(1-x)^{3}}}$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{3}x^{i}={\frac {x(1+4x+x^{2})}{(1-x)^{4}}}$
$\sum _{i=1}^{\infty }i^{4}x^{i}={\frac {x(1+x)(1+10x+x^{2})}{(1-x)^{5}}}$

Con denominatori semplici

$\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i}}=\log \left({\frac {1}{1-x}}\right),\quad {\text{per }}|x|\leq 1,\,x\not =1$
$\sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}{x^{i} \over i}=\log(1+x),\quad {\text{per }}|x|<1$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{2i+1}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}-\cdots =\arctan x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{2i+1}}=\operatorname {artanh} x,\quad {\text{per }}|x|<1$

Con denominatori fattoriali

Molte serie che sono calcolate per mezzo del teorema di Taylor hanno coefficienti frazionari contenenti fattoriali.

$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{i}}{i!}}=e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }i{\frac {x^{i}}{i!}}=xe^{x}\quad$ (si veda media della distribuzione di Poisson)
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{2}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+x^{2})e^{x}\quad$ (si veda momento secondo della distribuzione di Poisson)
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{3}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+3x^{2}+x^{3})e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }i^{4}{\frac {x^{i}}{i!}}=(x+7x^{2}+6x^{3}+x^{4})e^{x}$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i+1)!}}x^{2i+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots =\sin x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}}{(2i)!}}x^{2i}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots =\cos x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i+1}}{(2i+1)!}}=\sinh x$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {x^{2i}}{(2i)!}}=\cosh x$

Con denominatori fattoriali modificati

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}=\arcsin x,\quad {\text{per }}|x|<1$
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{i}(2i)!}{4^{i}(i!)^{2}(2i+1)}}x^{2i+1}=\operatorname {arsinh} x,\quad {\text{per }}|x|<1$

Serie binomiali

Serie binomiali (include la radice quadrata per $\alpha =1/2$ e la serie infinita geometrica per $\alpha =-1$ ):

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)n!^{2}4^{n}}}x^{n}={\sqrt {1+x}},\quad {\text{per}}|x|<1$
$\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}x^{n}={\frac {1}{1+x}},\quad {\text{per }}|x|<1$
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}=(1+x)^{n}$
$\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{n-k}\cdot b^{k}=(a+b)^{n}$
$\sum _{\alpha =\beta }^{\infty }{\binom {\alpha -1}{\beta -1}}x^{\alpha -\beta }={\frac {1}{(1-x)^{\beta }}}$
$\sum _{\alpha =\beta }^{\infty }{\binom {\alpha -1}{\beta -1}}(1-x)^{\alpha -\beta }\cdot x^{\beta }=1$
$\sum _{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}=(1+x)^{\alpha },\quad {\text{per }}|x|<1{\text{ e }}\alpha {\text{ complesso}}$

con il coefficiente binomiale generalizzato ${\alpha \choose n}=\prod _{k=1}^{n}{\frac {\alpha -k+1}{k}}={\frac {\alpha (\alpha -1)\cdots (\alpha -n+1)}{n!}}$

$\sum _{i=0}^{\infty }{i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{(1-x)^{n+1}}}$ ^[1]
$\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {1}{i+1}}{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{2x}}(1-{\sqrt {1-4x}})$ ^[1]
$\sum _{i=0}^{\infty }{2i \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}$ ^[1]
$\sum _{i=0}^{\infty }{2i+n \choose i}x^{i}={\frac {1}{\sqrt {1-4x}}}\left({\frac {1-{\sqrt {1-4x}}}{2x}}\right)^{n}$ ^[1]