Raggiunge la prima finale allo Swedish Open nel 1982 ma viene eliminato dal connazionale Mats Wilander con un doppio 6-4. L'anno successivo sono due le finali perse, Madrid e Ginevra, e conquista il suo primo titolo a Nizza contro Manuel Orantes.
Il 1984 è il suo anno migliore, ottiene tre titoli sulle sei finali raggiunte e conquista la Coppa Davis con il team svedese. Nella finale contro gli Stati Uniti sconfigge John McEnroe per 13-11, 6-4, 6-3. L'americano in stagione ha stabilito un record di 82 vittorie su 85 match giocati e Sundström è uno dei tre tennisti che sono riusciti a fermarlo.[1]
Nel 1986 riesce a vincere il suo quinto ed ultimo titolo in carriera, ad Atene. Chiude la carriera con il sesto posto come migliore posizione.