Funzione cubica

Polinomio di terzo grado

In matematica per funzione cubica si intende una funzione data da un'espressione della forma

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d,$

dove a è un numero reale o complesso diverso da zero; in altre parole una funzione cubica è una funzione data da un polinomio di terzo grado. La derivata di una funzione cubica è una funzione quadratica, mentre l'integrale indefinito di una funzione cubica è una funzione di quarto grado.

Derivata e punti critici

La derivata della funzione cubica, $f'(x)=3ax^{2}+2bx+c$ e la richiesta $f'(x)=0$ implicano

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-3ac\ }}}{3a}}$ .

Questa espressione simile alla formula per la soluzione dell'equazione quadratica, può essere usata per trovare i punti critici di una funzione cubica. Si trova quindi che

se $b^{2}-3ac>0\,$, allora la funzione cubica ha due punti critici, un massimo locale e un minimo locale;

se $b^{2}-3ac<0$, allora non vi sono punti critici.

se $b^{2}-3ac=0$, allora non vi sono estremanti, ma vi è un punto di flesso in $-b/3a$

Cubiche bipartite

La curva di equazione

$y^{2}=x(x-a)(x-b)$ dove $0<a<b$

viene chiamata cubica bipartita. Essa si incontra nella teoria delle curve ellittiche.

Si può ottenere il suo grafico con qualche strumento per la raffigurazione delle funzioni reali applicato alla funzione

$g(x)={\sqrt {x(x-a)(x-b)}}$

corrispondente alla metà superiore della cubica bipartita. Essa è definita nell'insieme dell'asse reale

$(0,a)\cup (b,+\infty ).$

Formula per le radici

La formula generale che consente di trovare i valori esatti delle radici delle funzioni cubiche è piuttosto complicata. Quindi può essere opportuno servirsi in alternativa del test della radice razionale o ricercare una soluzione numerica.

Riferiamoci alle costanti che compaiono nell'espressione

$f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=a(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})$

Valutiamo

$q={\frac {3ac-b^{2}}{9a^{2}}}$ e

$r={\frac {9abc-27a^{2}d-2b^{3}}{54a^{3}}}$

e successivamente

$s={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}$ e

$t={\sqrt[{3}]{{\frac {r}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{3}}{27}}+{\frac {r^{2}}{4}}}}}}$ .

Le soluzioni sono date da

$x_{1}=s+t-{\frac {b}{3}}$

$x_{2}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}+{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i$

$x_{3}=-{\frac {1}{2}}(s+t)-{\frac {b}{3}}-{\frac {\sqrt {3}}{2}}(s-t)i$

Voci correlate

• Equazione di terzo grado
• Funzione spline

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Collegamenti esterni

• (EN) Eric W. Weisstein, Funzione cubica, su MathWorld, Wolfram Research.