Funzione contrattiva

In matematica, una funzione contrattiva è una funzione tra spazi metrici che accorcia le distanze tra punti, ma in maniera più debole rispetto ad una contrazione.

Più precisamente, $f:X\to Y$ funzione tra spazi metrici si dice contrattiva se

$d_{Y}(f(x),f(y))<d_{X}(x,y)$

per ogni $x,y$ in $X$ tali che $x\neq y$ (se $x=y$ il secondo membro è nullo e dunque si otterrebbe $d_{Y}(f(x),f(x))=0<0=d_{X}(x,x)$, che è un assurdo).

Una funzione contrattiva è in particolare una funzione continua.

Ogni contrazione è anche una funzione contrattiva. Un esempio di funzione contrattiva che non è una contrazione è la funzione $f(x)=x(1-x)$ sullo spazio $X=[0,1]$ (dotato della metrica euclidea).

Teorema

Se $X$ è uno spazio metrico, $S$ un suo sottoinsieme compatto e $T:S\to S$ una funzione contrattiva, allora $T$ ammette uno e un solo punto fisso, cioè un $y$ in $S$ tale che $T(y)=y$.

Dimostrazione

Sia $\Phi (x)=d(x,T(x))$. Proviamone la continuità: sia $(x_{n})_{n}$ una successione in $S$ convergente ad un $z$. È

$\Phi (x_{n})=d(x_{n},T(x_{n}))\leq d(x_{n},z)+d(z,T(z))+d(T(z),T(x_{n}))$, cioè $\Phi (x_{n})-\Phi (z)\leq d(x_{n},z)+d(T(z),T(x_{n}))$.

Analogamente si giunge a

$\Phi (z)-\Phi (x_{n})\leq d(z,x_{n})+d(T(x_{n}),T(z))$, dunque vale che

$|\Phi (x_{n})-\Phi (z)|\leq d(x_{n},z)+d(T(z),T(x_{n}))$.

Ma il secondo membro è infinitesimo al divergere di $n$ per le ipotesi su $(x_{n})_{n}$ e per la continuità di $T$, dunque $\Phi (x_{n})\to \Phi (z)$, cioè $\Phi$ è continua. Essendo definita su un compatto, $\Phi$ ammette minimo in $y$. Supponendo per assurdo $y\neq T(y)$, abbiamo che

$\Phi (T(y))=d(T(y),T^{2}(y))<d(y,(T(y))=\Phi (y)$, contraddicendo l'assunzione che $\Phi$ raggiunga il suo minimo in $y$: dunque $y=T(y)$.

Per l'unicità, se $u\neq y$ è un altro punto fisso per $T$, allora

$d(u,y)=d(T(u),T(y))<d(u,y)$, che è impossibile.

Corollario

Se $X$ è uno spazio metrico, $S$ un suo sottoinsieme compatto e $T:S\to S$ è tale che l'iterata $T^{p}$ è contrattiva per qualche $p$ naturale, allora $T$ ammette un unico punto fisso.

Dimostrazione

Per $T^{p}$ si può applicare il teorema precedente, dunque esiste un unico punto $x$ tale che $T^{p}(x)=x$. Applicando ora la $T$ a entrambi i membri otteniamo

$T\circ T^{p}(x)=T(x)$, cioè $T^{p}\circ T(x)=T(x)$.

Ma allora anche $T(x)$ è un punto fisso per $T^{p}$, dunque per l'unicità del punto fisso per $T^{p}$ abbiamo $T(x)=x$.