Entropia di Tsallis

In fisica, l’entropia di Tsallis è una generalizzazione della formula di Boltzmann-Gibbs per il calcolo dell'entropia.

Panoramica

Il fisico teorico Costantino Tsallis elaborò nel 1988 questo concetto come base per generalizzare la meccanica statistica standard, ed è identica dal punto di vista formale alla α-entropia strutturale di Havrda–Charvát, introdotta nel 1967 nell'ambito della Teoria dell'Informazione. L'importanza dell'entropia di Tsallis in fisica è stata largamente dibattuta dalla letteratura scientifica..

Tuttavia, a partire dal 2000, è stato identificato un sempre più ampio spettro di sistemi complessi naturali, artificiali e sociali che confermano i fatti sperimentali previsti e le conseguenze teoriche dedotte da questo tipo di entropia non-additiva, come la meccanica statistica non-estensiva, che riesce a generalizzare la teoria di Boltzmann-Gibbs.

Definizione

Dato un insieme discreto di probabilità $\{p_{i}\}$ dove vale che $\sum _{i}p_{i}=1$, e dato un numero reale qualsiasi $q$, si definisce entropia di Tsallis:

$S_{q}({p_{i}})={k \over q-1}\left(1-\sum _{i}p_{i}^{q}\right),$

dove $q$ è un numero reale chiamato indice entropico.

Con il limite per $q\to 1$, ritroviamo la più nota entropia di Boltzmann–Gibbs, vale a dire:

$S_{BG}=S_{1}(p)=-k\sum _{i}p_{i}\ln p_{i}.$

Invece, per le distribuzioni di probabilità continue, l'entropia di Tsallis è definita come:

$S_{q}[p]={1 \over q-1}\left(1-\int (p(x))^{q}\,dx\right),$

dover $p(x)$ è la Funzione di densità di probabilità.
L'entropia di Tsallis è stata usata per derivare le proprietà della distribuzione di probabilità di Tsallis, attraverso il Principio della Massima Entropia.

Relazioni

L'entropia discreta di Tsallis soddisfa

$S_{q}=-\lim _{x\rightarrow 1}D_{q}\sum _{i}p_{i}^{x}$

dove D_q è la q-derivata rispetto a x. Può essere confronata con la formula dell'entropia standard:

$S=-\lim _{x\rightarrow 1}{\frac {d}{dx}}\sum _{i}p_{i}^{x}$

Non-additività

Dati due sistemi A and B, per i quali la funzione di densità di probabilità congiunta soddisfa

$p(A,B)=p(A)p(B),\,$,

allora, l'entropia di Tsallis per questo sistema soddisfa

$S_{q}(A,B)=S_{q}(A)+S_{q}(B)+(1-q)S_{q}(A)S_{q}(B).\,$

dove è evidente che il parametro $|1-q|$ è una misura di quanto non è additiva.
Nel caso limite di q = 1, diventa

$S(A,B)=S(A)+S(B),\,$

che è quanto ci si attende per un sistema additivo.
Per questo motivo, tale proprietà è a volte chiamata pseudo-additività.

Famiglie di esponenziali

Molte comuni distribuzioni di probabilità, ad esempio la distribuzione normale, conducono alle famiglie di esponenziali. L'entropia di Tsallis per una famiglia esponenziale può essere scritta come:

$H_{q}^{T}(p_{F}(x;\theta ))={\frac {1}{1-q}}\left((e^{F(q\theta )-qF(\theta )})E_{p}[e^{(q-1)k(x)}]-1\right)$

dove F è un log-normalizzatore e k il termine che indica la misura del carrier.

Per la Distribuzione normale multivariata, k è uguale zero, e perciò l'entropia di Tsallis diventa una espressione matematica in forma chiusa (valutabile in un numero finito di operazioni).

Ulteriori generalizzazioni

Esiste un certo numero di sistemi fisici di rilievo che afferiscono ai funzionali, che riescono a generalizzare ulteriormente l'entropia di Tsallis. I due più importanti sono: la Superstatistica introdotta da C. Beck ed E. G. D. Cohen nel 2003 e la Statistica Spettrale, introdotta da G. A. Tsekouras e Constantino Tsallis nel 2005.
L'entropia di Tsallis e l'entropia di Boltzmann-Gibbs possono essere ottenute come casi particolari, da entrambe queste due entropie. È stato dimostrato, inoltre, che dalla Statistica Spettrale si può ricavare la formula della Superstatica, cosa che lascia ipotizzare che la prima possa contenere e spiegare ulteriori casi e fenomeni.

Bibliografia

• Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi-Symeonidis, Eleutherius Symeonidis, On some properties of Tsallis hypoentropies and hypodivergences, in Entropy, 16(10) (2014), 5377-5399; DOI: 10.3390/e16105377
• Shigeru Furuichi, Flavia-Corina Mitroi, Mathematical inequalities for some divergences, in Physica A 391 (2012), pp. 388–400, DOI: 10.1016/j.physa.2011.07.052; ISSN 0378-4371
• Shigeru Furuichi, Nicușor Minculete, Flavia-Corina Mitroi, Some inequalities on generalized entropies, J. Inequal. Appl., 2012, 2012:226. DOI: 10.1186/1029-242X-2012-226

Collegamenti esterni

• Dettagli sui risultati teorici e sperimentali
• Tsallis Statistics, Statistical Mechanics for Non-extensive Systems and Long-Range Interactions
• Tomasz Maszczyk, Wlodzislaw Duch, Comparison of Shannon, Renyi and Tsallis Entropy used in Decision Trees, in Lecture Note in Computer Science, Vol. 5097 pagg. 643-651, anno 2008, Department of Informatics, Nicolaus Copernicus University, University Grudzi¸adzka 5, 87-100 Toru´n, Poland [1].