Figlio di Gianni Stecchi, nazionale e primatista italiano (1987). Gareggia per l'Assi Giglio Rosso Firenze, con un primato personale a 5,20 m, ottenuto a Firenze il 9 giugno 2010, ma anche un primato indoor di 5,31 m, ottenuto sempre nella stessa città l'8 febbraio dello stesso anno[1], Claudio Stecchi ha fatto parte della selezione per i Campionati del mondo junior a Moncton. Dopo essersi qualificato per la finale della gara in condizioni climatiche difficili, batte il suo primato, due volte, per conquistare la medaglia d'argento di vice-campione del mondo a 5,40 m.
Il 19 febbraio 2011, ad Ancona, porta il suo primato indoor ed assoluto a 5,50 m,[2] migliorandolo di dieci centimetri l'anno successivo sempre ad Ancona ove si aggiudica il suo primo titolo italiano assoluto.[3]
Il suo secondo titolo italiano lo ottiene a Bressanone il 7 luglio 2012, con la misura di 5,60 m, suo primato personale.