Semikekisi

Dalam matematika, sambungan-semikekisi (atau semikekisi atas) adalah himpunan terurut parsial yang memiliki sambungan (batas atas terkecil) untuk himpunan bagian hingga tidak kosong. Dualitas, pertemuan-semikekisi (atau semikekisi bawah) adalah himpunan terurut parsial yang memiliki pertemuan (atau batas bawah terbesar) untuk himpunan bagian hingga yang tidak kosong. Setiap sambungan-semikekisi adalah pertemuan-semikekisi dalam tatanan invers dan sebaliknya.

Semikekisi didefinisikan secara aljabar: sambungan dan pertemuan adalah operasi biner asosiatif, komutatif, idempoten, dan setiap operasi menginduksi urutan parsial (dan urutan invers masing-masing) sehingga hasil operasi untuk dua elemen adalah batas atas terkecil (atau batas bawah terbesar) elemen yang terkait dengan urutan parsial ini.

Kekisi adalah himpunan berurutan sebagian yang merupakan pertemuan dan sambungan semiksi dengan urutan parsial. Secara aljabar,kekisi adalah himpunan dengan dua operasi biner idempoten komutatif asosiatif yang ditautkan oleh hukum serapan.

Definisi teori tatanan

Himpunan S yang diurutkan sebagian oleh relasi biner ≤ adalah semikekisi-pertemuan jika

Untuk semua elemen x dan y dari S, terdapat batas bawah terbesar dari himpunan {x, y }.

Batas bawah terbesar dari himpunan {x, y } disebut pertemuan dari x dan y, dilambangkan dengan x ∧ y.

Mengganti "batas bawah terbesar" dengan "batas atas terkecil" menghasilkan konsep ganda dari semikekisi-sambungan. Batas atas terkecil dari {x, y} disebut sambungan dari x dan y, dilambangkan dengan x ∨ y. Pertemuan dan sambungan adalah operasi biner di S. argumen induksi sederhana menunjukkan bahwa keberadaan semua suprema berpasangan (infima), sesuai definisi, menyiratkan keberadaan semua suprema hingga (infima) yang tidak kosong.

Semikekisi-sambungan adalah terbatas jika elemen terkecil, sambungan dari himpunan kosong. Secara ganda, batas semikekisi-pertemuan jika memiliki elemen terbesar di pertemuan himpunan kosong.

Sifat lain dapat diasumsikan; lihat artikel tentang lengkap dalam teori order untuk pembahasan lebih lanjut tentang subjek ini. Artikel tersebut membahas bagaimana kita dapat mengubah definisi di atas dalam hal keberadaan hubungan Galois dengan poset terkait pendekatan minat khusus untuk penyelidikan teori kategori dari konsep tersebut.

Definisi aljabar

Semikekisi-pertemuan adalah struktur aljabar $\langle S,\land \rangle$ terdiri dari himpunan S dengan operasi biner ∧, disebut pertemuan, sehingga untuk anggota x, y, dan z dari S , identitas berikut ini:

Asosiatif: x ∧ ( y ∧ z ) = ( x ∧ y ) ∧ z
Komutativitas: x ∧ y = y ∧ x
Idempotensi: x ∧ x = x

Sebuah semikekisi-pertemuan $\langle S,\land \rangle$ batas jika S menyertakan elemen identitas 1 sehingga x ∧ 1 = x untuk semua x di S.

Jika simbol ∨, disebut sambungan, menggantikan ∧ dalam definisi yang baru saja diberikan, strukturnya disebut semikekisi-sambungan. Ambivalen tentang pilihan simbol tertentu untuk operasi tersebut, dan berbicara secara sederhana tentang semikekisi.

Semikekisi adalah semigrup komutatif, idempoten; yaitu, pita komutatif. Batas semikekisi adalah monoid komutatif idempoten.

Urutan parsial sebagai induksi pada semikekisi-pertemuan dengan mengatur x ≤ y setiap kali x ∧ y = x . Untuk semikekisi-sambungan, urutannya diinduksi dengan mengatur x ≤ y setiap kali x ∨ y = y. Dalam semikekisi-pertemuan himgga, identitas 1 adalah elemen terbesar dari S. Demikian pula, elemen identitas dalam semikekisi sambungan adalah elemen terkecil.

Hubungan antara dua definisi

Teoritis semikekisi-pertemuan ⟨S, ≤⟩ sebuah operasi biner ∧ sehingga ⟨S, ∧⟩ adalah aljabar semikekisi-pertemuan. Sebaliknya, semikekisi-pertemuan ⟨S, ∧⟩ suatu relasi biner ≤ bahwa sebagian S dengan cara berikut: untuk semua elemen x dan y dalam S, x ≤ y jika dan hanya jika x = x ∧ y.

Relasi ≤ yang diperkenalkan dengan mendefinisikan urutan parsial terdiri dari operasi biner ∧ dapat dipulihkan. Sebaliknya, semikekisi didefinisikan aljabar ⟨S, ∧⟩ bertepatan dengan ≤.

Oleh karena itu, kedua definisi tersebut dapat digunakan secara bergantian, tergantung mana yang lebih sesuai untuk tujuan tertentu. Kesimpulan serupa berlaku untuk semikekisi-sambungan dan urutan ganda ≥.

Contoh

Semikekisi digunakan untuk struktur tatanan lain, atau dalam konjungasi dengan sifat lengkap lainnya.

Kekisi adalah semikekisi-sambungan dan bertemmu. Interaksi kedua semikekisi ini melalui hukum serapan untuk membedakan kekisi dari semikekisi.
Elemen kompak darikekisi aljabar, di bawah tatanan parsial induksi, membentuk semikekisi-sambungan yang dibatasi.
Setiap semikekisi hingga dibatasi, oleh induksi.
Himpunan terurut total adalah kekisi distributif, oleh karena itu khususnya semikekisi-pertemuan dan semikekisi-sambungan: dua elemen berbeda dengan yang lebih besar dan lebih kecil, yang pertemuan dan sambungan.
- Himpunan terurut rapi merupakan semikekisi-sambungan terikat, karena himpunan secara keseluruhan memiliki elemen paling sedikit, oleh karena itu ia terikat.
  - Bilangan bulat nonnegatif ℕ, dengan urutan biasanya ≤, adalah semikekisi-sambungan terikat, dengan elemen paling sedikit 0, meskipun tidak memiliki elemen terbesar: mereka adalah himpunan terurut tak hingga terkecil.
Pohon berakar tunggal (dengan akar tunggal sebagai elemen terkecil) dengan tinggi $\leq \omega$ adalah semikekisi-pertemuan (umumnya tidak hingga). Pertimbangkan misalnya himpunan kata hingga beberapa alfabet, diurutkan berdasarkan urutan awalan. Menggunakan elemen terkecil (kata kosong), yang merupakan elemen pemusnah dari operasi pertemuan, tetapi tidak ada elemen (identitas) terbesar.
Domain Scott adalah semikekisi-pertemuan.
Keanggotaan dalam himpunan L dapat diambil sebagai model semikekisi dengan himpunan dasar L, karena semikekisi menggunakan esensi dari ekstensionalitas himpunan. Misalkan a ∧ b menunjukkan a ∈ L & b ∈ L. Dua himpunan berbeda dalam satu atau kedua:

Urutan dimana anggotanya terdaftar;
Multiplisitas satu atau lebih anggota,

Komutatifitas dan asosiatif ∧ memastikan (1)idempoten (2). semikekisi tersebut adalah semikekisi bebas di atas L. Itu tidak dibatasi oleh L, karena himpunan bukan anggota sendiri.

Mereologi ekstensional klasik mendefinisikan semikekisi-sambungan, dengan sambungan baca sebagai fusi biner. semikekisi dibatasi dari atas oleh individu dunia.
Diberikan himpunan S, himpunan partisi $\xi$ dari S adalah semikekisi-sambungan. Faktanya, urutan parsial diberikan oleh $\xi \leq \eta$ jika $\forall Q\in \eta ,\exists P\in \xi$ adalah $Q\subset P$ dan sambungan dari dua partisi diberikan oleh $\xi \vee \eta =\{P\cap Q\mid P\in \xi \ \&\ Q\in \eta \}$ . semikekisi ersebut dibatasi, dengan elemen terkecil menjadi partisi tunggal $\{S\}$ .

Morfisme semikekisi

Definisi aljabar di atas dari semikekisi menunjukkan gagasan morfisme antara dua semikekisi. Diberikan dua semikekisi-sambungan (S, ∨) dan (T, ∨), homomorfisme dari semikekisi (-gabunagn) adalah fungsi f : S → T sehingga

f ( x ∨ y ) = f ( x ) ∨ f ( y ).

Oleh karena itu f hanyalah homomorfisme dari dua semigrup terkait dengan setiap semikekisi. Jika S dan T keduanya menyertakan elemen terkecil 0, maka f juga menjadi homomorfisme monoid, yaitu

f (0) = 0.

Dalam perumusan teori tatanan, kondisi ini hanya menyatakan bahwa homomorfisme semikekisi-sambungan adalah fungsi yang mempertahankan sambungan biner dan elemen terkecil. Ganda mengganti ∧ dengan ∨ dan 0 dengan 1 mengubah definisi homomorfisme semikekisi-sambungan menjadi padanan semikekisi-pertemuan.

Perhatikan bahwa homomorfisme semikekisi monoton sehubungan dengan relasi order yang terkait penjelasan, lihat pelestarian entri batas.

Ekuivalen dengan kekisi aljabar

Persamaan terkenal di antara kategori tersebut ${\mathcal {S}}$ dari semikekisi-sambungan dengan nol dengan homomorfisme- $(\vee ,0)$ dan kategori ${\mathcal {A}}$ dari kekisi aljabar dengan elemen kompak semikekisi-sambungan lengkap, sebagai berikut. Dengan semikekisi-sambungan $S$ dengan nol, mengaitkan kekisi ideal $\operatorname {Id} \ S$ . Dengan homomorfisme- $(\vee ,0)$ , $f\colon S\to T$ dari semikekisi- $(\vee ,0)$ , kita menghubungkan peta $\operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T$ dengan ideal $I$ dari $S$ menghubungkan ideal $T$ dihasilkan oleh $f(I)$ . Mendefinisikan sebuah funktor $\operatorname {Id} \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {A}}$ . Sebaliknya, dengan setiapkekisi aljabar $A$ menghubungkan semikekisi- $(\vee ,0)$ untuk $K(A)$ dari semua elemen kompak $A$ , dan dengan setiap sambungan homomorfisme lengkap yang melestarikan kekompakan $f\colon A\to B$ antarakekisi aljabar menghubungkan batasan tersebut $K(f)\colon K(A)\to K(B)$ . Mendefinisikan sebuah funktor $K\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {S}}$ . Pasangan $(\operatorname {Id} ,K)$ mendefinisikan ekuivalen kategori antara ${\mathcal {S}}$ dan ${\mathcal {A}}$ .

Semikekisi distributif

Anehnya, gagasan tentang "distributivitas" yang dapat diterapkan pada semikekisi, meskipun distributivitas secara konvensional memerlukan interaksi dua operasi biner. Gagasan tersebut hanya membutuhkan satu operasi, dan menggeneralisasi kondisi distribusikekisi. Suatu semikekisi-sambungan bersifat distributif jika untuk semua a, b, dan x dengan x ≤ a ∨ b terdapat a' ≤ a dan b' ≤ b sehingga x = a' ∨ b' . Pertemuan distributif didefinisikan setiap dua kali. Definisi ini dibenarkan oleh fakta bahwa setiap semikekisi-sambungan distributif tempat pertemuan biner ada merupakan kekisi distributif. Lihat distribusi (teori urutan).

Semikekisi-sambungan bersifat distributif jika dan hanya jika kekisi ideal (dalam penyertaan) bersifat distributif.

Semikekisi lengkap

Saat ini, istilah "semikekisi lengkap" tidak memiliki arti yang diterima secara umum, dan terdapat berbagai definisi yang saling tidak konsisten. Jika kelengkapan dianggap membutuhkan keberadaan semua sambungan tak hingga, atau semua pertemuan tak hingga, apapun masalahnya, serta yang hingga, mengarah ke tatanan parsial yang sebenarnya adalah kekisi lengkap. Untuk mengapa keberadaan semua kemungkinan sambungan tak hingga mensyaratkan keberadaan semua kemungkinan pertemuan tak hingga (dan sebaliknya), lihat kelengkapan (teori tatanan).

Namun demikian, literatur kadang-kadang masih membutuhkan semikekisi-sambungan atau -pertemuan untuk menjadi kekisi lengkap. Dalam hal ini, "kelengkapan" menunjukkan batasan pada ruang lingkup homomorfisme. Secara khusus, semikekisi-sambungan lengkap memerlukan bahwa homomorfisme mempertahankan semua sambungan, tetapi bertentangan dengan situasi yang ditemukan untuk sifat kelengkapan, tidak memerlukan homomorfisme mempertahankan semua sambungan. Di sisi lain, kita simpulkan bahwa setiap pemetaan tersebut adalah adjoin yang lebih rendah dari beberapa koneksi Galois. Adjoin atas (unik) kemudian menjadi homomorfisme dari semikekisi-pertemuan lengkap. Hal ini menimbulkan sejumlah dualitas kategori yang berguna antara kategori semua semikekisi lengkap dengan morfisme yang melestarikan semua pertemuan atau sambungan.

Gagasan yang dibatasi kardinalitas tentang kelengkapan untuk semikekisi jarang dipertimbangkan dalam literatur.^[1]^[2]

Semikekisi bebas

Bagian ini mengandaikan beberapa pengetahuan tentang teori kategori. Dalam berbagai situasi, terdapat semikekisi bebas. Misalnya, funktor fogetful dari kategori semikekisi-sambungan (dan homomorfisme mereka) ke kategori himpunan (dan fungsi) adjoin kiri. Oleh karena itu, semikekisi-sambungan F(H) di atas himpunan S dibangun dengan himpunan dari semua himpunan bagian hingga yang tidak kosong dari H, diurutkan oleh penyertaan himpunan bagian. Jelas, H dapat ditanamkan ke F(H) oleh e pemetaan yang diambil setiap elemen dalam H dengan tunggal himpunan {h}. Kemudian setiap fungsi f dari S ke semikekisi-sambungan T (lebih formal, ke himpunan T yang mendasari) induksi homomorfisme unik f' antara semikekisi-sambungan F(H) dan T, sehingga f = f' o e . Secara eksplisit, f' diberikan oleh f' (A) = $\vee$ {f (h) | h di A }. Sekarang keunikan yang jelas dari f' cukup untuk mendapatkan tambahan yang diperlukan bagian morfisme dari fungsi F dapat diturunkan dari pertimbangan umum (lihat fungsi tambahan). Kasus semikekisi-pertemuan bebas bersifat ganda, menggunakan penyertaan himpunan bagian yang berlawanan sebagai tatanan. Untuk semikekisi-sambungan dengan yang bawah, kita hanya menambahkan himpunan kosong ke himpunan bagian di atas.

Selain itu, semikekisi sering berfungsi sebagai generator untuk objek bebas dalam kategori lain. Khususnya, kedua funktor adjoin dari kategori kerangka dan kerangka-homomorfisme, dan dari kategori kekisi distributif dan kekisi-homomorfisme, memiliki adjoin kiri.

Lihat pula

Himpunan langsung, rampat sambungan semikekisi
Daftar topik tatanan
Semigelanggang

Catatan

^ E. G. Manes, Algebraic theories, Graduate Texts in Mathematics Volume 26, Springer 1976, p. 57
^ complete semilattices on Planetmath.org

Referensi

Davey, B. A.; Priestley, H. A. (2002). Introduction to Lattices and Order (edisi ke-second). Cambridge University Press. ISBN 0-521-78451-4.
Vickers, Steven (1989). Topology via Logic. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36062-5.

Seringkali kasus perlakuan standar teori kekisi mendefinisikan semikekisi, jika demikian, dan kemudian tidak lagi. Lihat referensi dalam teori tatanan entri dan teori kekisi. Selain itu, tidak ada bacaan mengenai semikekisi yang besarnya sebanding dengan yang ada di semigrup.

Pranala luar

Halaman struktur aljabar Jipsen: semikekisi.

[1] E. G. Manes, Algebraic theories, Graduate Texts in Mathematics Volume 26, Springer 1976, p. 57

[2] te semilattices on Planetmath.org

[1]

[2]