Persamaan kubik

Grafik fungsi kubik dengan 3 akar nyata (di mana kurva memotong sumbu horizontal pada y = 0). Kasing yang ditunjukkan memiliki dua titik kritis. Di sini fungsinya adalah f(x) = (x³ + 3x² − 6x − 8)/4.

Dalam aljabar, persamaan kubik dalam satu variabel adalah persamaan yang berbentuk

${\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0}$

di mana $a$ adalah tak nol.

Solusi dari persamaan ini disebut akar fungsi dari fungsi kubik yang didefinisikan oleh sisi kiri persamaan. Jika semua koefisien $a$, $b$, $c$, dan $d$ dari persamaan kubik adalah bilangan riil, maka ia memiliki setidaknya satu akar nyata (ini berlaku untuk semua fungsi polinomial derajat ganjil). Semua akar persamaan kubik dapat ditemukan dengan cara berikut:

• secara aljabar, yaitu, mereka dapat diekspresikan oleh rumus kubik yang melibatkan empat koefisien, empat operasi aritmetika dasar dan akar ke-n (radikal). (Ini juga berlaku untuk persamaan kuadrat (derajat dua) dan kuartik (derajat empat), tetapi bukan persamaan derajat lebih tinggi, oleh teorema Abel-Ruffini.)
• trigonometri
• analisis numerik dari akar dapat ditemukan menggunakan algoritma pencarian akar seperti metode Newton.

Koefisien tidak perlu bilangan riil. Banyak dari apa yang dibahas di bawah ini berlaku untuk koefisien dalam medan apa pun dengan karakteristik selain 2 dan 3. Solusi dari persamaan kubik tidak harus milik bidang yang sama dengan koefisien. Sebagai contoh, beberapa persamaan kubik dengan koefisien rasional memiliki akar yang bilangan kompleks irasional (dan bahkan tidak nyata).

Sejarah

Persamaan kubik dikenal oleh orang-orang Babilonia, Yunani, Tionghoa, India, dan Mesir kuno. Papan aksara paku Babilonia (abad ke-20 sampai ke-16 SM) telah ditemukan berisi tabel untuk menghitung kubik dan akar kubik. Orang-orang Babilonia mungkin telah menggunakan tabel-tabel tersebut untuk menyelesaikan persamaan kubik, tetapi tidak ada bukti yang mengonfirmasinya. Masalah menggandakan kubus melibatkan persamaan kubik yang paling sederhana dan tua, dan dipercayai oleh orang-orang Mesir kuno tidak memiliki penyelesaian. Pada abad ke-5 SM, Hippokrates mereduksi masalah ini menjadi masalah mencari rata-rata geometri antara suatu garis dengan garis lain yang dua kali lipat panjangnya, tetapi tidak bisa menyelesaikan ini menggunakan sebuah konstruksi jangka dan penggaris, cara yang sekarang diketahui tidak mungkin dilakukan. Metode untuk menyelesaikan persamaan kubik muncul dalam The Nine Chapters on the Mathematical Art, sebuah teks matematika Tiongkok yang dikumpulkan pada sekitar abad ke-2 SM dan dikomentari oleh Liu Hui pada abad ke-3. Pada abad ke-3 Masehi, matematikawan Yunani Diofantos menemukan penyelesaian bilangan bulat atau rasional untuk beberapa persamaan bivariat (persamaan Diophantine). Hippokrates, Menaikhmos dan Archimedes dipercaya telah hampir menyelesaikan permasalahan menggandakan kubus menggunakan irisan kerucut yang berpotongan, meskipun sejarawan seperti Reviel Netz mempertanyakan apakah para orang Yunani memikirkan tentang persamaan kubik atau hanya masalah yang bisa menghasilkan persamaan kubik. Sebagian yang lain seperti T. L. Heath, yang menerjemahkan semua karya Archimedes, tidak setuju, memberikan bukti bahwa Archimedes benar-benar menyelesaikan persamaan kubik menggunakan perpotongan dua irisan kerucut, tetapi juga mendiskusikan apabila akarnya ada 0, 1 atau 2.

Grafik fungsi kubik f(x) = 2x³ − 3x² − 3x + 2 = (x + 1) (2x − 1) (x − 2)

Pada abad ke-7, astronom-matematikawan dinasti Tang Wang Xiaotong dalam risalah matematikanya yang berjudul Jigu Suanjing secara sistematis menetapkan dan menyelesaikan secara numerik 25 persamaan kubik dengan bentuk $x^{3}+px^{2}+qx=N$, 23 di antaranya dengan $p,q\neq 0$, dan dua di antaranya dengan $q=0$.

Pada abad ke-11, penyair-matematikawan Persia, Umar Khayyam (1048–1131), membuat kemajuan signifikan dalam teori persamaan kubik. Dalam karangan lamanya, dia menemukan bahwa sebuah persamaan kubik bisa memiliki lebih dari satu penyelesaiaan dan menyatakan bahwa persamaan kubik tidak bisa diselesaikan menggunakan konstruksi jangka dan penggaris. Dia juga menemukan sebuah penyelesaian geometris. Dalam karya lainnya kemudian, Treatise on Demonstration of Problems of Algebra, dia menulis sebuah pengelompokan lengkap persamaan kubik dengan penyelesaian geometris umum yang ditemukan dengan cara memotongkan irisan kerucut.

Pada abad ke-12, matematikawan India Bhaskara II mencoba menyelesaikan persamaan kubik tetapi secara umum tidak berhasil. Akan tetapi, dia memberikan satu contoh persamaan kubik: $x^{3}+12x=6x^{2}+35$. Pada abad ke-12, matematikawan Persia lainnya, Sharaf al-Din al-Tusi (1135–1213), menulis Al-Muʿādalāt (Treatise on Equations), yang berurusan dengan delapan jenis persamaan kubik dengan penyelesaian positif dan lima jenis persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia menggunakan apa yang kemudian dikenal sebagai "metode Ruffini-Horner" untuk memperkirakan secara numerik akar persamaan kubik. Dia juga menggunakan konsep maksimum dan minimum kurva untuk menyelesaikan persamaan kubik yang mungkin tidak punya penyelesaian positif. Dia memahami pentingnya diskriminan suatu persamaan kubik dalam mencari penyelesaiaan aljabar dari jenis-jenis persamaan kubik tertentu.

Dalam bukunya Flos, Leonardo de Pisa, juga dikenal sebagai Fibonacci (1170–1250), mampu memperkirakan dengan dekat penyelesaian positif untuk persamaan kubik $x^{3}+2x^{2}+10x=20$. Menulis dengan angka-angka Babilonia dia memberikan hasil 1.22.7.42.33.4.40 (ekuivalen dengan ${\textstyle 1+{\frac {22}{60}}+{\frac {7}{60^{2}}}+{\frac {42}{60^{3}}}+{\frac {33}{60^{4}}}+{\frac {4}{60^{5}}}+{\frac {40}{60^{6}}}}$), yang memiliki galat hampiran sekitar 10⁻⁹.

Pada awal abad ke-16, matematikawan Italia Scipione del Ferro (1465–1526) menemukan metode untuk menyelesaikan sebuah jenis persamaan kubik, yaitu yang berbentuk $x^{3}+mx=n$. Sebenarnya, semua persamaan kubik bisa direduksi menjadi bentuk ini jika kita membolehkan $m$ dan $n$ bernilai negatif, tetapi bilangan negatif belum diketahuinya pada saat itu. Del Ferro merahasiakan pencapaiannya sampai kematiannya, pada mana dia memberi tahu muridnya Antonio Fior tentang itu.

Niccolò Fontana Tartaglia

Pada tahun 1530, Niccolò Tartaglia (1500–1557) menerima dua permasalahan persamaan kubik dari Zuanne da Coi dan mengumumkan bahwa dia bisa menyelesaikannya. Dia kemudian ditantang oleh Fior, yang menghasilkan pertandingan terkenal di antara keduanya. Masing-masing kontestan harus menaruh sejumlah uang dan mengusulkan banyak permasalahan yang lawannya harus selesaikan. Siapapun yang menyelesaikan lebih banyak permasalahan dalam waktu 30 hari akan mendapatkan semua uangnya. Tartaglia menerima pertanyaan dalam bentuk $x^{3}+mx=n$, yang dia telah kembangkan metode umumnya. Fior menerima pertanyaan dalam bentuk $x^{3}+mx^{2}=n$, yang rupanya terlalu sulit untuk dia selesaikan, dan Tartaglia memenangkan pertandingannya.

Kemudian, Tartaglia dibujuk oleh Gerolamo Cardano (1501–1576) untuk mengungkapkan rahasianya dalam menyelesaikan persamaan kubik. Pada tahun 1539, Tartaglia melakukannya tetapi dengan syarat Cardano tidak boleh memberitahukannya dan apabila dia menulis buku mengenai kubik, dia harus memberikan Tartaglia untuk membuat terbitannya. Beberapa tahun kemudian, Cardano mempelajari tentang karya del Ferro dan menerbitkan metode del Ferro dalam bukunya Ars Magna pada tahun 1545, jadi Cardano memberikan Tartaglia enam tahun untuk menerbitkan hasilnya (dengan kredit diberikan kepada Tartaglia untuk penyelesaiannya sendiri). Janji Cardano kepada Tartaglia mengatakan bahwa dia tidak akan menerbitkan hasil pekerjaan Tartaglia, dan Cardano merasa dia menerbitkan hasil pekerjaan del Ferro, jadi perjanjiannya tidak dilanggar. Meskipun begitu, ini menyebabkan Cardano mendapatkan tantangan dari Tartaglia, yang Cardano tolak. Tantangannya akhirnya diterima oleh murid Cardano Lodovico Ferrari (1522–1565). Ferrari mendapatkan hasil yang lebih baik daripada Tartaglia dalam pertandingan mereka, dan Tartaglia kehilangan gengsi dan pendapatannya.

Cardano memperhatikan bahwa metode Tartaglia terkadang perlu melibatkan akar kuadrat dari bilangan negatif. Dia bahkan memasukkan sebuah penghitungan bilangan-bilangan kompleks tersebut dalam Ars Magna, tetapi dia tidak benar-benar memahaminya. Rafael Bombelli mempelajai masalah ini secara rinci dan dianggap sebagai penemu bilangan kompleks.

François Viète (1540–1603) secara mandiri menurunkan penyelesaian trigonometri untuk kubik dengan tidak akar real, dan René Descartes (1596–1650) memperluas karya Viète.

Faktorisasi

Bila koefisien persamaan kubik adalah bilangan rasional, kita dapat memperoleh persamaan ekivalen dengan koefisien bilangan bulat, dengan mengalikan semua koefisien dengan kelipatan persekutuan:

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,$

dengan koefisien bilangan bulat, dikatakan dapat direduksi jika polinomial ruas kiri adalah hasil kali polinomial derajat yang lebih rendah. Menurut lemma Gauss, jika persamaan dapat direduksi, maka dapat dianggap bahwa faktor-faktor tersebut memiliki koefisien bilangan bulat.

Menemukan akar dari persamaan kubik yang dapat direduksi lebih mudah daripada menyelesaikan kasus umum. Faktanya, jika persamaan tersebut dapat direduksi, salah satu faktor pasti memiliki derajat satu, dan memiliki bentuk demikian

$qx-p$

dengan q dan p adalah dua bilangan bulat yang koprima. Uji akar rasional memungkinkan penemuan q dan p dengan memeriksa jumlah kasus yang terbatas (karena q harus menjadi pembagi dari a, dan p harus menjadi pembagi dari d).

Jadi, salah satu akarnya adalah $\textstyle x_{1}={\frac {p}{q}},$ dan akar lainnya adalah akar dari faktor lainnya, yang dapat ditemukan dengan pembagian polinomial. Faktor lainnya adalah

${\frac {a}{q}}x^{2}+{\frac {bq+ap}{q^{2}}}x+{\frac {cq^{2}+bpq+ap^{2}}{q^{3}}}$

(Koefisien tampaknya bukan bilangan bulat, tetapi harus bilangan bulat jika p / q adalah akar.)

Kemudian, akar lainnya adalah akar dari polinomial kuadrat ini dan dapat ditemukan dengan menggunakan rumus kuadrat.

Kubik tertekan

Bentuk kubik

$t^{3}+pt+q$

dikatakan tertekan. Mereka jauh lebih sederhana daripada kubik umum, tetapi fundamental, karena studi tentang kubik apa pun dapat dikurangi dengan perubahan variabel sederhana menjadi kubik yang tertekan.

Bila diberikan persamaan kubik dalam bentuk

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

Perubahan variabel

$x=t-{\frac {b}{3a}}$

akan menghasilkan persamaan kubik yang tidak punya suku t². Setelah membaginya dengan a, maka diperoleh persamaan kubik tertekan

$t^{3}+pt+q=0,$

dengan

${\begin{aligned}t=&x+{\frac {b}{3a}}\\p=&{\frac {3ac-b^{2}}{3a^{2}}}\\q=&{\frac {2b^{3}-9abc+27a^{2}d}{27a^{3}}}.\end{aligned}}$

akar $x_{1},x_{2},x_{3}$ dari persamaan asli terkait dengan akar $t_{1},t_{2},t_{3}$ dari persamaan tertekan oleh hubungan

$x_{i}=t_{i}-{\frac {b}{3a}},$

untuk $i=1,2,3$.

Diskriminan dan sifat akar

Sifat (real atau tidak, berbeda atau tidak) dari akar kubik dapat ditentukan tanpa menghitungnya secara eksplisit, dengan menggunakan diskriminan.

Diskriminan

Diskriminan dari polinomial adalah fungsi dari koefisiennya, nilainya nol jika dan hanya jika polinomial tersebut memiliki banyak akar, atau, jika habis habis dibagi kuadrat dari non konstanta. Dengan kata lain, diskriminan tidak sama dengan nol jika dan hanya jika polinomial bebas kuadrat.

Bila r₁, r₂, r₃ adalah tiga akar (tidak harus berbeda atau real) dari kubik $ax^{3}+bx^{2}+cx+d,$ maka diskriminannya

$a^{4}(r_{1}-r_{2})^{2}(r_{1}-r_{3})^{2}(r_{2}-r_{3})^{2}.$

Diskriminan kubik yang tertekan $t^{3}+pt+q$ adalah

$-\left(4\,p^{3}+27\,q^{2}\right).$

Diskriminan kubik umum $ax^{3}+bx^{2}+cx+d$ adalah

$18\,abcd-4\,b^{3}d+b^{2}c^{2}-4\,ac^{3}-27\,a^{2}d^{2}.$

Ini adalah produk dari $a^{4}$ dan diskriminan kubik tertekan yang sesuai. Oleh karena itu, salah satu dari dua diskriminan ini adalah nol jika dan hanya jika yang lain juga nol, dan, jika koefisien dari bilangan asli, kedua diskriminan tersebut memiliki tanda yang sama. Singkatnya, informasi yang sama dapat disimpulkan dari salah satu dari dua diskriminan ini.

Untuk membuktikan rumus sebelumnya, seseorang dapat menggunakan rumus Vieta untuk menyatakan semuanya sebagai polinomial di r₁, r₂, r₃, dan a. Buktinya kemudian menghasilkan verifikasi persamaan dua polinomial.

Rumus Cardano

Gerolamo Cardano dikreditkan atas menerbitkan rumus pertama untuk menyelesaikan persamaan kubik, mengatribusikannya kepada Scipione del Ferro. Rumusnya berlaku untuk kubik tertekan, tetapi, seperti yang diperlihatkan di § Kubik tertekan, rumus ini memungkinkan menyelesaikan semua persamaan kubik.

Hasil Cardano adalah, bila

$x^{3}+px+q=0$

adalah persamaan kubik sehingga $p$ dan $q$ adalah bilangan real sedemikian rupa $4p^{3}+27q^{2}>0,$ maka persamaan tersebut memiliki akar yang sebenarnya

${\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}+{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}+{\sqrt[{3}]{-{\frac {q}{2}}-{\sqrt {{\frac {q^{2}}{4}}+{\frac {p^{3}}{27}}}}}}.$

Lihat § Penurunan akar, di bawah, untuk beberapa metode untuk mendapatkan hasil ini.

Seperti yang ditunjukkan di § Sifat akar, dua akar lainnya adalah bilangan konjugasi kompleks tidak real, dalam kasus ini. Itu kemudian ditunjukkan (Cardano tidak tahu bilangan kompleks) bahwa dua akar lainnya diperoleh dengan mengalikan salah satu akar pangkat tiga dengan akar pangkat tiga primitif kesatuan ${\frac {-1+i{\sqrt {3}}}{2}}$, dan akar pangkat tiga lainnya oleh ${\frac {-1-i{\sqrt {3}}}{2}}$.

Daftar pustaka

• Guilbeau, Lucye (1930), "Sejarah Solusi Persamaan Kubik", Mathematics News Letter, 5 (4): 8–12, doi:10.2307/3027812, JSTOR 3027812 

Bacaan lebih lanjut

• Anglin, W. S.; Lambek, Joachim (1995), "Mathematics in the Renaissance", The Heritage of Thales, Springers, hlm. 125–131, ISBN 978-0-387-94544-6  Ch. 24.
• Dence, T. (November 1997), "Cubics, chaos and Newton's method", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 81 (492): 403–408, doi:10.2307/3619617, ISSN 0025-5572, JSTOR 3619617 
• Dunnett, R. (November 1994), "Newton–Raphson and the cubic", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 78 (483): 347–348, doi:10.2307/3620218, ISSN 0025-5572, JSTOR 3620218 
• Jacobson, Nathan (2009), Basic algebra, 1 (edisi ke-2nd), Dover, ISBN 978-0-486-47189-1 
• Mitchell, D. W. (November 2007), "Solving cubics by solving triangles", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 91: 514–516, doi:10.1017/S0025557200182178, ISSN 0025-5572 
• Mitchell, D. W. (November 2009), "Powers of φ as roots of cubics", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 93, ISSN 0025-5572 
• Press, W. H.; Teukolsky, S. A.; Vetterling, W. T.; Flannery, B. P. (2007), "Section 5.6 Quadratic and Cubic Equations", Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (edisi ke-3rd), New York: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8 
• Rechtschaffen, Edgar (July 2008), "Real roots of cubics: Explicit formula for quasi-solutions", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 268–276, doi:10.1017/S0025557200183147, ISSN 0025-5572 
• Zucker, I. J. (July 2008), "The cubic equation – a new look at the irreducible case", Mathematical Gazette, Mathematical Association, 92: 264–268, doi:10.1017/S0025557200183135, ISSN 0025-5572 

Pranala luar

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001) [1994], "Cardano formula", Encyclopedia of Mathematics, Springer Science+Business Media B.V. / Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-55608-010-4 
• Sejarah persamaan kuadrat, kubik dan kuartik di Arsip MacTutor.
• 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can't handle? – video YouTube oleh Mathologer mengenai sejarah persamaan kubik dan penyelesaian Cardano, serta penyelesaian Ferrari untuk persamaan kuartik