Szimmetrikus polinom

A matematikában a P(X₁, X₂, …, X_n) polinomot szimmetrikus polinomoknak nevezzük, ha annak változóit tetszőleges módon felcserélve ugyanazt a polinomot kapjuk. Jelölésekkel megfogalmazva, legyen P egy szimmetrikus polinom, σ pedig az 1, 2, ..., n indexek egy permutációja, akkor fennáll a P(X_σ(1), X_σ(2), …, X_σ(n)) = P(X₁, X₂, …, X_n).

(ellen)példák:

• 2x⁵+2y⁵ egy kétváltozós szimmetrikus polinom
• x⁵-y⁵ egy kétváltozós nem-szimmetrikus polinom

Tulajdonságok

Azonos változójú szimmetrikus polinomok összege, szorzata, skalárszorosa, így bármely polinomja újra szimmetrikus polinom.

A szimmetrikus polinomok alaptétele szerint minden szimmetrikus polinom elő is áll elemi szimmetrikus polinomok polinomjaként.

Speciális szimmetrikus polinomok

Elemi szimmetrikus polinomok

Az n változós elemi szimmetrikus polinomok az

s₁(x₁, x₂, …, x_n)= x₁+x₂+ … + x_n

s₂(x₁, x₂, … , x_n)= x₁x₂+ x₂x₃ + … + x_ix_j + x_n-1x_n

…

s_n(x₁, x₂, …, x_n)= x₁x₂…x_n

szimmetrikus polinomok. Szavakkal, az i-edik n változós elemi szimmetrikus polinom az n változóból képzett összes i tényezős szorzat összege.

Monomikus szimmetrikus polinomok

A monomok, vagy egytagok a változók összeszorzásával keletkező polinomok. Nevüket onnan kapták, hogy egytagú összegnek tekinthetők. Az x₁, …, x_n változók monomjai felírhatók $x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}$ alakban, amit így szokás rövidíteni: x^α, ahol α rendre az x₁, …, x_n változók kitevőit tartalmazó vektor.

A monomikus szimmetrikus polinom azoknak a monomoknak az összege, amiknek kitevővektorai végigjárják egy ^α kitevővektor összes permutációját.

Példák:

$m_{(3,1,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{3}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{3}x_{3}+x_{1}x_{2}x_{3}^{3}$,

$m_{(3,2,1)}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{3}x_{2}^{2}x_{3}+x_{1}^{3}x_{2}x_{3}^{2}+x_{1}^{2}x_{2}^{3}x_{3}+x_{1}^{2}x_{2}x_{3}^{3}+x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{2}+x_{1}x_{2}^{2}x_{3}^{3}$

az elemi szimmetrikus polinomok.

Ezek a monomikus szimmetrikus polinomok a szimmetrikus polinomok vektorterének egy generátorrendszerét alkotják, azaz minden szimmetrikus polinom felírható monomikus polinomok lineáris kombinációjaként.

Teljes homogén szimmetrikus polinomok

Egy polinom homogén, ha minden monomja azonos fokú. Például, a $h_{3}(x_{1},x_{2},x_{3})=x_{1}^{3}+x_{1}^{2}x_{2}+x_{1}^{2}x_{3}+x_{1}x_{2}^{2}+x_{1}x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}^{2}+x_{2}^{3}+x_{2}^{2}x_{3}+x_{2}x_{3}^{2}+x_{3}^{3}$ szimmetrikus polinom homogén harmadfokú polinom. Egy szimmetrikus homogén polinom teljes, ha monomjai végigfutják az összes adott fokú monomot.

A teljes homogén szimmetrikus polinomokkal az elemi szimmetrikus polinomokhoz hasonlóan az összes szimmetrikus polinom kifejezhető. Pontosabban, minden k fokú szimmetrikus polinom előáll a legfeljebb k-adfokú teljes homogén szimmetrikus polinomok polinomjaként.

Alkalmazásuk

Alkalmazásuk a Galois-elméletben azon múlik, hogy az egyváltozós polinomok együtthatói (az előjeltől eltekintve) a gyökök elemi szimmetrikus polinomjai, így ha meg tudjuk oldani az így keletkezett egyenletrendszert, akkor meg tudjuk adni a polinom gyökeit. Ennek a megoldásához ismerni kell a gyökök permutációit, amik segítenek megbontani a szimmetriát, így megoldani az egyenletrendszert. Ez a módszer elvezetett a Lagrange-rezolvensekhez, majd a Galois-elmélethez.

Emellett felbukkannak a lineáris algebrában, a reprezentációelméletben és a kombinatorikában. Többek között a szimmetrikus függvények gyűrűjével együtt is tanulmányozzák őket.

Alternáló polinomok

A szimmetrikus polinomokhoz hasonlóak az alternáló polinomok, amik a permutációk hatására előjelet váltanak, vagy nem változnak semmit sem. Ezek felírhatók egy szimmetrikus polinom és egy Vandermonde-polinom szorzataként, és a szimmetrikus polinomok gyűrűjének másodfokú bővítésének tekinthetők.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Symmetric polynomial című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

Források

• Több változós polinomok