Sűrűségmátrix

A sűrűségmátrix kevert kvantumállapotok leírására szolgál. Neumann János vezette be 1927-ben. (Más források szerint Lev Landau és Felix Bloch is felfedezte Neumann Jánostól függetlenül.)

Tulajdonságai

Egy kvadratikus mátrix akkor és csak akkor lehet egy kvantumrendszer sűrűségmátrixa, ha

${\hat {\rho }}^{+}={\hat {\rho }},$

${\hat {\rho }}\geq 0,$

$\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }})=1,$

ahol ${\hat {\rho }}^{+}$ a ${\hat {\rho }}$ mátrix hermitikus konjugáltját jelöli.

Dekompozíció

Minden sűrűségmátrix felírható tiszta állapotok keverékeként

${\hat {\rho }}=\sum _{k}p_{k}\vert \Psi _{k}\rangle \langle \Psi _{k}\vert ,$

ahol a $\vert \Psi _{k}\rangle$ állapotok páronként ortogonálisak, $p_{k}\geq 0$ és $\sum _{k}p_{k}=1.$

Várható érték és mérés

Egy hermitikus operátor ${\hat {A}}$ várható értéke megkapható a sűrűségmátrix segítségével

$\langle {\hat {A}}\rangle =\mathrm {Tr} ({\hat {\rho }}{\hat {A}}).$

Egy ${\hat {P}}$ projektor hatását a rendszer kvantumállapotára a

${\hat {\rho }}={\frac {{\hat {P}}{\hat {\rho }}{\hat {P}}}{\mathrm {Tr} ({\hat {P}}{\hat {\rho }})}}$

formula adja. Ez alapján, ha egy ${\hat {A}}$ hermitikus operátor felbontását

${\hat {A}}=\sum _{k}a_{k}{\hat {P}}_{k}$

adja, ahol ${\hat {P}}_{k}$ egymásra ortogonális projektorok, és az operátor mérésekor $a_{n}$ eredményt kaptunk, akkor a rendszer állapota a mérés után

${\hat {\rho }}'={\frac {{\hat {P}}_{n}{\hat {\rho }}{\hat {P}}_{n}}{\mathrm {Tr} ({\hat {P}}_{n}{\hat {\rho }})}}$

Irodalom

Nagy Károly: Kvantummechanika, Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000.