Momentum (matematika)

A valószínűségszámításban egy valószínűségi változó momentumai több, a változó eloszlását jellemző számértéket is takarnak. Általánosan az X valószínűségi változó k-adik momentuma bármely k pozitív egész szám esetén az E(X^k) által felvett értékként határozható meg (feltéve, hogy ez az érték létezik), ahol E(X) az X várható értékét jelöli.

Az X valószínűségi változó k-adik momentumának jelölését tekintve a szakirodalom nem egységes. Sok esetben – a várható értéktől, szórástól, ferdeségtől vagy lapultságtól eltérően – nem szoktak külön jelölést bevezetni, hanem kiírják az E(X^k)-t. Találkozhatunk helyenként a μ_k = E(X^k) jelöléssel, más könyvekben viszont a μ_k a centrális momentumot jelöli.

Az eloszlásfüggvényt momentumainak sorozata meghatározza, amennyiben a momentumgeneráló függvény konvergens. Az előre megadott momentumokkal bíró eloszlás meghatározása a momentumprobléma, ami fontos a technikai mechanikában.

Vannak eloszlások, amelyeknek csak véges sok momentuma létezik. Ide tartoznak a t-eloszlások, amelyeknek csak olyan rendű momentumai vannak, amelyek kisebbek a szabadsági fokánál. Speciálisan, a Cauchy-eloszlás esetén már első momentum, a várható érték sincs; ugyanez a helyzet a Lévy-eloszlással.

Definíció

Legyen $X$ valószínűségi változó, és $k$ természetes szám. Ekkor $X$ $k$-adrendű momentuma vagy $k$-adik momentuma $X$ $k$‑-adik hatványának várható értéke, feltéve, hogy az létezik:

$m_{k}:=\operatorname {E} \left(X^{k}\right),$

$X$ $k$-adik abszolút momentuma az $|X|$ abszolútérték $k$-adik hatványának várható értéke:

$M_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X\right|^{k}\right).$

Elméleti vizsgálatokban a $k$ nem feltétlenül egész, ilyenkor $\kappa$-val jelölik. Bizonyos rendű momentumok létezése az egész eloszlást jellemzi általánosan. Az első momentum a várható érték. Gyakori jelölése: $\mu$, és az eloszlás középértékének tekinthető.

Valós valószínűségi változó momentumai

Legyen $X$ az $(\Omega ,\Sigma ,P)$ valószínűségi mezőn értelmezve és eloszlásfüggvénye $F_{X}(x)=P(X\leq x)$. Ekkor a momentumok kifejezhetők Stieltjes-integrállal a várható érték definíciója alapján:

$m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}\,\mathrm {d} F_{X}(x)$.

Ha $X$ abszolút folytonos valószínűségi változó, és sűrűségfüggvénye $f_{X}$, akkor:

$m_{k}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }x^{k}f_{X}(x)\,\mathrm {d} x$,

Diszkrét valószínűségi változó esetén, aminek értékei $x_{i}$ és valószínűségei $p_{i}=P(X=x_{i})$:

$m_{k}=\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}^{k}\cdot p_{i}$.

A $P$ valószínégi mérték szerinti Lebesgue-integrállal ezek egységesen:

$m_{k}=\int _{\Omega }X^{k}\,\mathrm {d} P$.

Centrális momentumok

A fent definiált momentumok mellett centrális momentumokat is értelmeznek, amelyek figyelembe veszik a várható értéket is.

$\mu _{k}:=\operatorname {E} \left(\left(X-\mu \right)^{k}\right)$

és

${\bar {\mu }}_{k}:=\operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|^{k}\right).$

Az első abszolút centrális momentum a standard abszolút eltérés:

${\bar {\mu }}_{1}:=\operatorname {E} \left(\left|X-\mu \right|\right).$

A második centrális momentum a szórásnégyzet:

$\mu _{2}=\operatorname {E} \left(\left(X-\mu \right)^{2}\right)$

A harmadikból és a negyedikből számítják a ferdeséget és a lapultságot. A ferdeség a szimmetrikustól való eltérést, a lapultság az eloszlás alakját jellemzi. Magasabb momentumoknak is nevezik őket.

Momentumok, karakterisztikus függvény és kumulánsok

A karakterisztikus függvény képletének többszörös deriválásával kifejezhetjük a közönséges momentumokat a karakterisztikus függvénnyel

$\operatorname {E} (X^{k})={\frac {\varphi _{X}^{(k)}(0)}{i^{k}}}\quad (k=1,2,\dots )$

A momentumgeneráló függvényből is megkaphatók a momentumok. A $k$-adik momentum kifejezhető az első $k$ kumuláns $\kappa _{1},\dots ,\kappa _{k}$ polinomjaként. Ez éppen a $B_{k}$ $k$-adik teljes Bell-polinom:

$m_{k}=B_{k}(\kappa _{1},\dots ,\kappa _{k})$.

Markov-egyenlőtlenség

A momentumok jelentőségét a Markov-egyenlőtlenség világítja meg:

Ha az $X$ valószínűségi változónak létezik a $k$-adik $M_{k}$ abszolút momentuma, akkor

$P(|X|\geq x)\leq {\frac {M_{k}}{x^{k}}}$,

ami a nagy abszolút értékű értékekről tesz kijelentést. Speciálisan, ha $k=2$, akkor a becslés a szórásnégyzetről szól:

$P(|X-\operatorname {E} (X)|\geq x)\leq {\frac {\sigma ^{2}}{x^{2}}}$,

a Csebisev-egyenlőtlenség, ami a nagy eltéréseket becsli.

Közös momentumok

A momentum fogalma kiterjeszthető több valószínűségi változó esetére. Ha $X$ és $Y$ valószínűségi változó, akkor közös momentumaik

$m_{k\ell }=\operatorname {E} \left(X^{k}Y^{\ell }\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }x^{k}y^{\ell }f_{XY}(x,y)\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y$

ahol $f_{XY}$ közös sűrűségfüggvény.

A centrális közös momentumok hasonlóan definiálhatók:

$\mu _{k\ell }=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))^{k}(Y-\operatorname {E} (Y))^{\ell }\right)$.

Ahol $\mu _{11}$ az $X$ és $Y$ kovarianciája.

Számítás

A momentumok számításához a first-order second-moment eljárás ad közelítő eredményt.

További momentumok

A valószínűségszámításban és a matematikai statisztikában más momentumok is előfordulnak, ezek közül a legfontosabbak:

• abszolút momentum
• centrális momentum
• abszolút centrális momentum
• faktoriális momentum

A momentum speciális esete a kezdeti momentum, melyet a centrális momentum definiálása kapcsán szoktak bevezetni.

Megjegyzések

• A k-adik momentum kifejezés helyett szokás k-ad rendű momentumot is használni.

• Látható, hogy az első momentum azonos a várható értékkel, vagyis a momentum tekinthető a várható érték általánosításának is.

Források

• Bognár J.-né – Mogyoródi J. – Prékopa A. – Rényi A. – Szász D. (2001): Valószínűségszámítási feladatgyűjtemény. Typotex Kiadó, Budapest.
• Fazekas I. (szerk.) (2000): Bevezetés a matematikai statisztikába. Kossuth Egyetemi Kiadó, Debrecen.
• Medgyessy P. – Takács L. (1973): Valószínűségszámítás. Tankönyvkiadó, Budapest.
• Michelberger P. – Szeidl L. – Várlaki P. (2001): Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis. Typotex Kiadó, Budapest.
• Athanasios Papoulis, S. Unnikrishna Pillai: Probability, Random Variables, and Stochastic Processes. McGraw-Hill Publishing Co.; 4Rev Ed edition (2002), ISBN 0-07-366011-6.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Moment (Stochastik) című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.