Lineáris kombináció

Egy lineáris kombináció. Szemléltetés paralelogrammaszabállyal

$v$ a $v_{1}$ és $v_{2}$ vektorok lineáris kombinációja. A zöld sík a két vektor lineáris burkát ábrázolja

A lineáris kombináció a lineáris algebra egyik legfontosabb fogalma. Segítségével definiálható a vektorok lineáris függetlensége, a vektorrendszerek, mátrixok rangja.

Definíció

Legyen v₁, v₂, …, v_n ∈ V és λ₁, λ₂, …, λ_n ∈ T, ahol T test, V pedig egy T feletti k dimenziós vektortér. V elemei vektorok, T elemei skalárok.
Ekkor a $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\lambda _{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}$ ∈ V vektort a v_i vektorok (λ_i skalárokkal képzett) lineáris kombinációjának nevezzük.

Tetszőleges számú vektor lineáris kombinációja

Legyen K test, és legyen V vektortér K fölött. Legyen továbbá $(v_{i})_{i\in I}$ vektorok akár végtelen halmaza. Ekkor a $(v_{i})_{i\in I}$ vektorok lineáris kombinációi azok a $v=\sum _{i\in I}\lambda _{i}v_{i}$ összegek, amikben véges kivétellel minden λ nulla. Tehát még akkor sem tekintünk végtelen sok elemet, ha a sor konvergens lenne.

Alkalmazások

Az egyik alkalmazásban adva vannak a vektorok a hozzájuk tartozó vektorokkal, és ki akarjuk számítani a lineáris kombinációt.

Példa: Adva legyenek a $v_{1}=\left(\!{\begin{smallmatrix}2\\5\end{smallmatrix}}\!\right),v_{2}=\left(\!{\begin{smallmatrix}3\\0\end{smallmatrix}}\!\right)$ vektorok $\mathbb {R^{2}}$-ben, és az $a_{1}=2,a_{2}=-3$ együtthatók. Ekkor a lineáris kombináció $v=2{\begin{pmatrix}2\\5\end{pmatrix}}-3{\begin{pmatrix}3\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}-5\\10\end{pmatrix}}$.

Egy másik alkalmazásban egy adott vektorról kell eldönteni, hogy előáll-e a megadott vektorok lineáris kombinációjaként. Az előállításhoz meg kell adni az együtthatókat, vagy bizonyítani, hogy nincsenek ilyen együtthatók. Ez egy lineáris egyenletrendszer megoldásával tehető meg.

Példa: Az $\mathbb {R} ^{3}$ vektortérben keressük, hogy előáll-e a $v=\left(\!{\begin{smallmatrix}16\\-4\\3\end{smallmatrix}}\!\right)$ vektor a $v_{1}=\left(\!{\begin{smallmatrix}3\\-2\\4\end{smallmatrix}}\!\right)$ és $v_{2}=\left(\!{\begin{smallmatrix}2\\0\\-1\end{smallmatrix}}\!\right)$ vektorok lineáris kombinációjaként. Elvégezzük a $v=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}$ helyettesítést, és megoldjuk az így előálló lineáris egyenletrendszert például Gauss-eliminációval. Megoldásként $a_{1}=2$ és $a_{2}=5$ adódik. Így $v$ előáll $v_{1}$ és $v_{2}$ lineáris kombinációjaként, mint $v=2v_{1}+5v_{2}$.

Kapcsolódó fogalmak

Mivel az elemeket bizonyos skalárokkal össze kell szorozni, majd a szorzatokat összeadni, ezért a lineáris kombináció vektortéren értelmezhető.

Tekintünk néhány vektort; ekkor az összes lineáris kombinációjuk ismét vektorteret ad, az adott vektorok által generált vektorteret, más néven lineáris burkukat. Ha kombinációik az egész vektorteret kiadják, akkor azok a vektorok a vektortér egy generátorrendszerét alkotják.

A nullvektor triviálisan kifejezhető lineáris kombinációként. Ez azt jelenti, hogy minden együttható nulla. Ha a nullvektor másként is előáll, akkor a lineáris kombinációban levő vektorok lineárisan összefüggők. Ha csak a triviális lineáris kombináció állítja elő a nullvektort, akkor a vektorrendszer lineárisan független.

Ha egy vektorrendszer független generátorrendszere a V vektortérnek, akkor bázisa a V vektortérnek. Egy vektortér összes bázisa ugyanannyi elemet tartalmaz; ez az elemszám a vektortér dimenziója.

Modulusok

A testek helyett gyűrűk fölött levő modulusokban a lineáris kombináció is általánosabb jelentést kap.

Az egész számok gyűrűjében, mint önmaga fölötti modulusban is lehet lineáris kombinációt venni. Ekkor két egész szám lineáris kombinációjaként éppen a legnagyobb közös osztójuk többszörösei adódnak. Maga a legnagyobb közös osztó az euklideszi algoritmus alapján írható fel lineáris kombinációként, ahol az együtthatók negatívak is lehetnek:

$\operatorname {lnko} (a,b)=s\cdot a+t\cdot b.$

Az egyértelműség nem teljesül, mivel a két szám legkisebb közös többszörösének felhasználásával egy egész sorozat előállítható.

Példák:

• a 3 és az 5:

1 = 2 · 5 - 3 · 3

• a 10 és a 20:

10 = 1 · 10 + 0 · 20

• a 9 és a 15:

3 = 2 · 9 - 1 · 15

• a 9 és a 16:

1 = 4 · 16 - 7 · 9

Általában a lineáris algebrából ismert, egyszerű műveletek végrehajthatók modulusokban is, azonban nem mindig lehet megoldani egy lineáris egyenletrendszert a nem invertálható gyűrűelemek miatt.

Speciális esetek

• Ha λ_i-k egyike sem negatív, akkor kúp kombinációról van szó.
• Ha mindegyikük pozitív, akkor pozitív kombinációról beszélünk.
• Ha az együtthatók összege 1, akkor az affin kombináció. Ez a fogalom modulusokra is kiterjeszthető.
• Ha a kombináció egyszerre kúp és affin kombináció, akkor konvex kombináció. Konvex kombinációk konvex kombinációja

is konvex kombináció. Egy adott halmaz összes konvex kombinációjának halmaza a halmaz konvex burka.

Források

• Gerd Fischer: Lineare Algebra, Vieweg-Verlag, ISBN 3-528-03217-0
• Gerd Fischer: Lineare Algebra. 18., aktualisierte Auflage. Springer, Wiesbaden 2014, ISBN 978-3-658-03945-5.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Linearkombination című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.