Brown-mozgás

A Brown-mozgás a gázokban és folyadékokban lebegő (szuszpendált) részecskék szüntelenül zajló, véletlenszerű mozgása, amelyet Robert Brown angol botanikus fedezett fel vízben elkevert virágporszemcséket vizsgálva. Ez az anyag atomos szerkezetének fontos bizonyítéka volt.

A káoszelméletben szereplő globális keveredés egyik jó példája, amely szerint tipikus kezdőfeltételekkel indítva kellően hosszú idő alatt a rendszer az összes lehetséges állapothoz közel kerül.

Elméleti háttér

A szuszpendált részecskék mozgásuk során állandó ütközéseket szenvednek el, viselkedésük legpontosabban a Maxwell-féle sebességeloszlási függvény szerint értelmezhető. A Brown-mozgás trajektóriái általánosságban véletlenszerű, folyamatos és rendszertelen pályavonalat írnak le. Legyen α az ütközési állandó, m a részecskék tömege, a a részecske sugara és η a dinamikus viszkozitás. Ekkor a mozgási egyenlet:

$mx{\frac {dv}{dt}}=-\alpha v+F(t)\Longrightarrow$ $mx{\frac {dv}{dt}}=m\left[{\frac {dx(v)}{dt}}-v^{2}\right]=\alpha xv+x\,F(t)$

Ennek időátlagolt formája: $m\left\langle {\frac {dx(v)}{dt}}\right\rangle =m{\frac {d\langle xv\rangle }{dt}}=m\langle v\rangle ^{2}-\alpha \langle xv\rangle +\langle xF(t)\rangle$

Mivel F(t) véletlenszerűen változik (tekintet nélkül a részecske sebességére vagy annak helyzetére), azt kapjuk, hogy ${\textstyle \langle xF(t)\rangle =\langle x\rangle \langle F(t)\rangle =0}$ , továbbá ${\textstyle {\frac {1}{2}}m\langle v\rangle ^{2}={\frac {1}{2}}kT}$ , ahol k a Boltzmann-állandó. Ha e két egyenletet a fentebb levezetett időátlagolt formulába helyettesítjük be, kapjuk, hogy ${\textstyle m{\frac {d\langle xv\rangle }{dt}}=kT-\alpha \langle xv\rangle }$ . Tehát írható, hogy : ${\frac {1}{2}}m{\frac {d^{2}\langle x\rangle ^{2}}{dt^{2}}}+{\frac {\alpha }{2}}{\frac {d\langle x\rangle ^{2}}{dt}}=kT$

Alkalmazzunk ${\textstyle {\frac {d\langle x\rangle ^{2}}{dt}}=w}$ helyettesítést, ekkor ${\textstyle {\frac {dw}{dt}}+{\frac {\alpha }{m}}w={\frac {2kT}{m}}}$ , továbbá ${\textstyle \gamma =\alpha /m}$ -t, ilyen módon ${\textstyle {\frac {dw}{dt}}+\gamma w={\frac {2kT}{m}}}$ kapunk. Az egyszerűsítés kedvéért legyen ${\textstyle w={\frac {2kT}{\alpha }}+c\,e^{-\gamma t}}$ , vagyis a következő összefüggéshez jutunk el:

${\frac {dw}{dt}}+\gamma w=-c\gamma e^{-\gamma t}+{\frac {2kT\,\gamma }{\alpha }}+\gamma ce^{-\gamma t}={\frac {2kT}{m}}$

A Brown-mozgás értelmezése Einstein szerint

Ugyan a jelenség tanulmányozása az 1800-as évek hosszú évtizedeinek történelme volt, Einstein korábban nem ismerte a Brown-mozgást. Más elméletekbe vonta be a jelenség magyarázatát, majd szabatos kifejtését kvantitatíve adta meg. Ez majdnem ugyanarra az időszakra esett, mikor ismert, relativitásról szóló publikációját közreadta. Két érvelést is felvázolt, ebből az egyik statisztikus-hőtani oldalról közelíti meg a mozgást.

Legyen ${\textstyle \rho =\rho (x,t)}$ az x tengely mentén, t időpillanatban mozgó Brown-részecske valószínűségi sűrűségfüggvénye. Ebből a diffúzióegyenlet ${\textstyle {\frac {\partial \varrho }{\partial t}}=D\Delta \varrho }$ ,

melyben D egy pozitív konstans, az ún. diffúziós koefficiens. Ha a szóban forgó részecskére t=0 időpillanatban érvényes, hogy ${\textstyle \varrho (x,0)=\delta (x)}$ , akkor a három dimenziós euklideszi térben a sűrűségfüggvény szabatos alakja: $\varrho (x,t)={\frac {1}{(4\pi Dt)^{\frac {3}{2}}}}e^{-{\frac {\mid x\mid ^{2}}{4Dt}}}$

A levezetés másik aspektusa a D kapcsolata más fizikai állandókkal, illetve fizikai szerepe a jelenség magyarázatában. Képzeljünk el egy Brown-részecske-sokaságból álló szuszpenziót, melyre egy külső K erő hat (mely lehet gravitációs erő is, azonban jellemző, hogy magában a kifejtésben lényegében K csak virtuális). Egyensúlyban az K egyensúlyt tart a szuszpenzióban uralkodó ozmotikus nyomás által kifejtett erővel ${\textstyle K=kT\centerdot {\frac {grad\ \nu }{\nu }}}$ , ahol ${\textstyle \nu }$ az adott térfogatban jelenlévő részekék száma, T a termodinamikai hőmérséklet, k a Boltzmann-állandó. Az egyenlet jobb oldala hasonlóképpen származtatható a kinetikus gázelméletből, mintha abban a Brown-részecskéket helyettesítettük volna be. A részecskék úgy mozognak a szuszpenzióban, hogy utóbbinak molekulái súrlódó hatást fejtenek ki a szuszpendált részecskékre. A külső K erő mindkét részecskének mozgásmennyiséget (sebességkomponenst) ad át, melynek nagysága ${\textstyle {\frac {K}{m\beta }}}$ , ahol m a részecskék tömege, ${\textstyle \beta }$ egy frekvenciafüggő állandó. Ennek következtében az egységnyi felületen, adott időintervallumban a K erő ellenében átjutó részecskék száma: ${\textstyle N={\frac {\nu K}{m\beta }}}$ . Ugyanakkor, ha csupán a diffúzió erők fejtenének ki hatást az adott közegben, ${\textstyle \nu }$ szimplán a diffúzió egyenletet elégítené ki: ${\textstyle {\frac {\partial \nu }{\partial t}}=D\Delta \nu }$ . Differenciálgeometriai értelemben $-D\centerdot grad\ \nu$ . Dinamikai egyensúlyban tehát ${\textstyle {\frac {\nu K}{m\beta }}=D\centerdot grad\ \nu }$ . Ha K-t és n– t elimináljuk az egyenletből (mivel feltettük, hogy K virtuális komponens), a kapott formula azonos Einstein diffúziós állandójára kapott kifejezésével: ${\textstyle D={\frac {kT}{m\beta }}}$ . Ennek értelmében tehát akkor is megadható az együttható értéke, ha külső erő nem hat a rendszerre, és csak egy Brown-részecske van jelen. Megjegyzésképpen tekintsük még egyszer a K erő és az ozmotikus nyomás erőegyensúlyát. Ha mindkét oldalt elosztjuk mβ-val, valamint az Einstein formulát alkalmazzuk, a következő kifejezést kapjuk: ${\textstyle {\frac {K}{m\beta }}=D{\frac {grad\ \nu }{\nu }}}$

Mivel a bal oldalon lévő sebességkomponens a külső erő hatására létrejött mozgási energiából származik, az ozmotikus nyomással ilyen módon egyensúlyt tartó erő nagysága ${\textstyle D{\frac {grad\ \varrho }{\varrho }}}$ .

Ha a Brown-részecskéket nem pontszerű testnek tekintjük, hanem– pl. gömbszimmetrikus – kiterjedéssel rendelkező részecskéknek (melynek sugara a), akkor a Stokes-egyenlet alapján D a következőképp írható: $D={\frac {kT}{6\pi \eta a}}$

Laboratóriumi körülmények közt a fenti összefüggés számos komponense egyszerű számítások alapján meghatározható, mely elvet követve tett kísérletet Perrin és Chaudesaigues az Avogadro-szám meghatározására. Látható módon Einstein érvelése a Brown-mozgás dinamikai leírására nem ad kielégítő választ, az csupán annak elvi alapjait tárja fel, illetve utalást tesz több, további alapvető következtetési lehetőségre. Smoluchowski – Einsteintől függetlenül – hasonló eredményre jutott a mozgás elvi alapjainak leírásában. Langevin az Einstein-formulára egy másik levezetést javasolt, melyet később Ornstein és Uhlenbeck vizsgálatai során felhasznált. A jelenség ilyen módon való megközelítése a tárgykörben alapvetőnek bizonyult, tekintve az atomi részecskék fogalmának jobb megérthetőségét illetően.

Langevin-féle megközelítés

A nem-egyensúlyi rendszerek dinamikájának talán egyik legegyszerűbb megközelítéseként is aposztrofálható a Brown-mozgás. Ennek egyik szemléletes kifejtése a Langevin-egyenlet, amely a fluktuáció-disszipáció elmélet egyik ékes példája. A kezdeti koncepciók és a jelenség magyarázatai kissé eltérő módon kezelték magát a rendszert, ugyanis a jelenlévő egyes részecskék viselkedését, mintegy szubjektív módon vették figyelembe. Később ezt az álláspontot árnyaltabbá tették azáltal, hogy a fluktuáló részecskét egy nagyobb, makroszkopikus rendszer részeként szemlélték. Egy rendszerszerű perspektívából észlelve a reakciószintű történéseket ilyen módon visszavezethetjük a mikroszkopikus szinten végbemenő szabálytalan fluktuációk koncentráció-változásra gyakorolt hatására.

A Langevin-egyenlet

Tekintsünk egy Brown-részecskét (tipikusan 10^–9 m < r < 5×10^–7 m), mely egy sokkal kisebb partikulumokból (atomok) álló folyadékban elegyednek. Hasonlóképpen a részecskéket övező közeg atomjai nagyságrendileg nagyobb sebességgel mozognak, mint a Brown-részekék. Egy kolloidális rendszer általában legalább három idő nagyságrendet felölelő rendszert foglal magában. Jelen tárgyalásban ts egy nagyon rövid atomi nagyságrendű időskála – 10^–12 s körül tartományban. A t_B (Brown-részecske) nagyságrendje mintegy 10^–3 s, továbbá t_r a Brown-részecske relaxációs ideje (mely alatt a részecske saját sugarának megfelelő távolságra diffundál) – ez ${\textstyle \tau _{r}=a^{2}/D}$ . Sűrű, kolloid oldatban ez utóbbi igen hosszú intervallumot felölelhet, akár percekben, vagy órákban is mérhető. Jóllehet, a Brown-részecske mozgása többnyire véletlenszerű, mégis hasonló dinamikai formalizmusokkal írható le, mint bármely más mozgás. Ezek a klasszikus mechanikában a Newton egyenletek, illetve a Hamilton-függvények. Az egyszerűség kedvéért ez a megközelítés a jelenséget egydimenziós megközelítésben tárgyalja. Newton – már ismert – dinamikai egyenlete alapján ${\textstyle m{\frac {dv(t)}{dt}}=F(t)}$ , ahol F(t) a részecskére t időpillanatban ható összes erőt jelenti, mely a közeg által a részecskére ható erőt szimbolizálja. Ha szuszpenzió atomjainak helyzete ismert, mint az idő függvénye, F(t) rögtön kifejezhető. Általában nem praktikus, hogyhogy nem elkerülendő F(t) ilyetén meghatározása, melynek szinte teljes hányada a súrlódási erőből tevődik össze. Ha egyéb erőhatásokat nem veszünk figyelembe, akkor ${\textstyle m(dv/dt)=6\pi \eta \rho a}$ (Stokes). Tekintsünk egy véletlenszerűen ható ${\textstyle \xi (t)}$ erőt, mely az esetleges fluktuáció-változások hatására jönnek létre. Ezt kifejtve, valamint a Stokes-egyenletet felhasználva a következők írhatók: $d{\frac {x(t)}{dt}}=v(t)\qquad {\frac {dv(t)}{dt}}=-{\frac {\gamma }{m}}v(t)+{\frac {1}{m}}\xi (t)$ Ezek a Brown-részecske Langevin-egyenletei. Az említett véletlenszerűen képződő erőhatás egy sztochasztikus változó függvény – ha ettől eltekintünk, akkor a fenti függvények szimplán a $v(t)=e^{\frac {-t}{\tau _{B}}}v(0)\qquad \tau _{B}={\frac {m}{\gamma }}$

kifejezésre egyszerűsödik. Ennélfogva belátható, hogy a Brown-részecske sebessége ${\textstyle t=\infty }$ esetén zérusra csökken. Ez természetesen összetett rendszerben nem fordulhat ugyanakkor elő, ugyanis egyensúlyban az ekvipartíció elve szerint ${\textstyle \langle v^{2}(t)\rangle _{eq}={\frac {k_{B}T}{m}}}$ , míg az egyszerűsített Langevin-egyenlet ilyen módon

$\langle v^{2}(t)\rangle _{eq}=e^{-2t/\tau _{B}}\langle v^{2}(0)_{eq}\rightarrow 0$

Az ütközések során fellépő erőhatás nagysága az idővel rendkívül gyorsan változik. Ez leginkább a következőkkel szemléltethető:

$\langle \xi (t)\rangle _{\xi }=0\qquad \langle \xi (t_{1})\xi (t_{2})\rangle _{\xi }=g\delta (t_{1}-t_{2})$

A delta függvény azt szemlélteti, hogy két ütközés dt₁ és dt₂ között egymástól teljesen független. Nem szabad figyelmen kívül hagyni ugyanakkor, hogy utóbbi egyenletrendszer által illusztrált dinamikai modellben megjelenő erők összessége egyértelmű Gauss-féle eloszlást mutat.

Források

Cambridge enciklopédia. Szerk. David Crystal. A magyar kiadást szerk. Szelle Béla. Ford. Acsády Judit et al. Budapest: Maecenas. 1992. ISBN 963-7425-65-9
T., Jana (2011. március 9.). „Langevin theory of anomalous Brownian motion made simple”. European Journal of Physics 32 (3), 645–655. o, Kiadó: IOP Publishing. DOI:10.1088/0143-0807/32/3/002. ISSN 0143-0807.
Jia, Dongdong (2007). „The time, size, viscosity, and temperature dependence of the Brownian motion of polystyrene microspheres”. American Journal of Physics 75 (2), 111–115. o, Kiadó: American Association of Physics Teachers (AAPT). DOI:10.1119/1.2386163. ISSN 0002-9505.

További információk