Beal-sejtés

A Beal-sejtés egy számelméleti sejtés, amit Andrew Beal posztulált 1993-ban. A Fermat-sejtés általánosításait vizsgálva a következő sejtést alkotta meg:

Ha

$A^{x}+B^{y}=C^{z},$

ahol A, B, C, x, y és z pozitív egészek úgy, hogy x, y, z > 2, akkor A, B és C rendelkezik közös prímosztóval.

Annak, aki bizonyítással vagy cáfolattal áll elő, és ezt megjelenteti egy lektorált szakfolyóiratban, Beal 1997-ben 5000 amerikai dollárt ajánlott fel, ezt tíz év alatt 50 000 dollárra, mostanra 1 millió dollárra emelte.

Példák

Illusztrációképp, az egyik megoldás, 3³ + 6³ = 3⁵ alapjainak közös prímosztója 3, egy másik megoldás, a 7⁶ + 7⁷ = 98³ alapjainak közös prímosztója 7. Az egyenletnek természetesen végtelen sok megoldása létezik, ezek egy része például felírható a következő alakban

$\left[a\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}+\left[b\left(a^{m}+b^{m}\right)\right]^{m}=\left(a^{m}+b^{m}\right)^{m+1}$

bármilyen a, b > 0, m > 2 egészekre. Ezek közül egyik megoldás se jó ellenpéldának a Beal-sejtésre, mivel az alapok mind tartalmazzák osztóként az $a^{m}+b^{m}$ -t.

Kapcsolat más sejtésekkel

A nagy Fermat-tétel kimondja, hogy az x = y = z > 2 esetben a Beal-sejtésben szereplő egyenletnek nincs megoldása (vagy ami ebből következik, nincs olyan megoldása, ahol A, B és C relatív prímek). Ez Beal sejtésének speciális esete (a Beal-sejtés is megköveteli, hogy A, B és C relatív prímek legyenek és x, y, z > 2 legyen, de utóbbiaknak nem kell feltétlenül megegyezniük).

A Beal-sejtés úgy is kimondható, hogy „a Fermat–Catalan-sejtés valamennyi megoldásában szerepel 2 a kitevők között”.

Részleges eredmények

Azokban a lenti esetekben, ahol 2 a kitevő, a 2 többszöröseire is érvényes a bizonyítás, mivel a hatványból egyszerűen négyzetgyök vonható..

• Az x = 2, y = 3 és z = 7 esetet Bjorn Poonen, Edward F. Schaefer és Michael Stoll bizonyította 2005-ben.
• Az x = 2, y = 4, z pedig prímszám esetet Michael Bennet, Jordan Ellenberg és Nathan Ng igazolta 2009-ben.
• Az x = 2, y = 3 és z = 10 esetet David Brown bizonyította 2009-ben.
• Az x = y = z eset megegyezik az Andrew Wiles által 1994-ben bebizonyított nagy Fermat-sejtéssel.
• Az A = 1 eset következik a Catalan-sejtésből, amit 2002-ben igazolt Preda Mihăilescu (Mihăilescu-tétel).
• Ha igaz az abc-sejtés, akkor igaz az is, hogy legfeljebb véges sok ellenpélda hozható a Beal-sejtéssel szemben.
• Hash táblákkal felgyorsított számítógépi kereséssel igazolták a Beal-sejtés érvényességét a képletben szereplő mind a hat változó 1000-ig terjedő értékeire. Tehát bármilyen ellenpéldában a változók közül legalább egynek 1000 fölöttinek kell lennie.

Érvénytelen variánsok

A $7^{3}+13^{2}=2^{9}$ és $1^{m}+2^{3}=3^{2}$ ellenpéldák megmutatják, hogy a sejtés érvénytelen lenne, ha megengednénk, hogy legalább egy kitevő felvegye a 2 értéket. A Fermat–Catalan-sejtés foglalkozik ezekkel az esetekkel.

A sejtés egy variánsa, mely szerint az x, y, z-nek (és nem az A, B, C számoknak) kell közös prímtényezővel rendelkeznie, hamisnak bizonyult. Egy ellenpélda: $27^{4}+162^{3}=9^{7}.$

A sejtés szintén érvénytelen, ha az egész számkört kibővítő Gauss-egészek körében vizsgáljuk. Miután 50 dollárt ígértek annak, aki ellenpéldát talál, Fred W. Helenius megtalálta a $(-2+i)^{3}+(-2-i)^{3}=(1+i)^{4}$ esetet.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Beal's conjecture című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a jelzés csupán a megfogalmazás eredetét és a szerzői jogokat jelzi, nem szolgál a cikkben szereplő információk forrásmegjelöléseként.

További információk

• Index: Akar egymillió dollárt keresni?
• http://www.ams.org/profession/prizes-awards/ams-supported/beal-prize The Beal Prize office page
• http://www.bealconjecture.com/
• http://www.math.unt.edu/~mauldin/beal.html
• R. Daniel Mauldin (1997). „A Generalization of Fermat's Last Theorem: The Beal Conjecture and Prize Problem”. Notices of the AMS 44 (11), 1436–1439. o. 
• Beal conjecture at PlanetMath
• http://mathoverflow.net/questions/28764/status-of-beal-tijdeman-zagier-conjecture