קירוב בורן

קירוב בורן הוא פיתוח לטור של פונקציית הגל של תהליך פיזור במכניקה קוונטית. הקירוב פותח על ידי מקס בורן ב-1926, והוא אחד הפיתוחים התאורטיים הראשונים שהביאו לניבויים פיזיקליים חדשים בהסתמך על משוואת שרדינגר. הקירוב מאפשר חישוב של קירוב של חתך הפעולה הדיפרנציאלי - כלומר הסיכוי שחלקיק מסוים שנע בכיוון מסוים יבצע אינטראקציה עם פוטנציאל וישנה את כיוון תנועתו לכיוון אחר בגלל האינטראקציה הזו.

את הקירוב ניתן לפתח סדר אחרי סדר. בסימון דיראק, ניתן לכתוב את קירוב בורן מסדר ראשון לפי: $|\psi ^{+}\rangle =|\varphi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}+i\epsilon }}{\hat {V}}|\varphi \rangle$ כאשר $|\varphi \rangle$ הוא המצב החופשי של חלקיק לא מופרע, ${\hat {H}}_{0}$ הוא אופרטור ההמילטוניאן של חלקיק כזה, ו-${\hat {V}}$ הוא האופרטור שמתאר את הפוטנציאל. בבסיס המיקום, קירוב בורן מסדר ראשון עבור גל ראשוני שנע עם מספר גל $\mathbf {k}$ הוא: $\psi (\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }-{\frac {e^{ik{|\mathbf {x} |}}}{4\pi \mathbf {|} x|}}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int d^{3}\mathbf {x'} U(\mathbf {x'} )e^{-ik{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x'} }{|\mathbf {x} |}}}$.

רקע והיסטוריה

פיזור פיזיקלי הוא תהליך שבו חלקיק מתחיל ממרחק רב ממערכת פיזיקלית, כך שהמערכת הפיזיקלית לא משפיעה עליו. במהלך הפיזור החלקיק מתקרב אל המערכת ומבצע אינטראקציה עם המרכיבים שלה. בסוף תהליך הפיזור החלקיק מתרחק שוב מהמערכת והיא שוב לא משפיעה על החלקיק. תהליכי פיזור הם חלק מהותי בפיזיקה בכלל ובתורת הקוונטים בפרט. חלק ניכר מהניסויים הראשונים שהראו אופי קוונטי של חלקיקים הם ניסויי פיזור, לדוגמה: ניסוי רתרפורד שהראה את מבנה האטום ובו פוזרו חלקיקי אלפא מגרעיני זהב, אפקט קומפטון בו מפוזרים פוטונים מאלקטרונים.

בשני העשורים הראשונים של המאה ה-20 פותחה תורת הקוונטים ה"ישנה". תורה זו, שהוצגה על ידי בוהר וזומרפלד, הצליחה להראות חיזויים נכונים רבים למערכות מחזוריות, דוגמת אטום המימן. עם זאת, בתחילת שנות ה-20 התגלה שבתיאוריה קיימים מספר פגמים משמעותיים. ראשית, חלק מהניבויים של התיאוריה התגלו כלא נכונים, לדוגמה השפעת שדה מגנטי על מוליכות החום של גז דיאטומי. יתירה מכך, התיאוריה לא סיפקה שום דרך לחזות את קצב הפליטה או הקליטה של אור על ידי אטומים. התיאוריה חזתה באופן נכון את רמות האנרגיה של אטום המימן, אבל לא הסבירה איך ולמה האטום עובר מרמה אחת לאחרת. בעיה שלישית היא שהתיאוריה תיארה אך ורק מערכות מחזוריות; מערכות לא מחזוריות, דוגמת בעיות פיזור, לא התאימו לתיאור בתורת הקוונטים הישנה.

לקראת סוף 1925, הייזנברג הציג ניסיון ראשון לכתוב תיאוריה קוונטית מקיפה יותר. מכניקת המטריצות שהוצגה על ידיו ופותחה על ידי בורן, יורדן ודיראק נבנתה על בסיס מסגרת רחבה יותר מהתיאוריה הקוונטית הישנה והראתה הבטחה לפתרון חלק מהבעיות. ב-1924 הציג דה ברויי את השערתו לפיה כל חלקיק, כולל חלקיקי חומר, מראה תכונות של גל. על בסיס השערה זו, פיתח שרדינגר את המשוואה שנושאת את שמו בראשית 1926. למשך מספר חודשים היה נראה שמכניקת הקוונטים עברה ממצב של חוסר בתיאוריה למצב של שתי תיאוריות מתחרות, עד ששרדינגר הראה ששתי התיאוריות שקולות.

הפיתוח של משוואת שרדינגר הביא שני אתגרים חדשים לפיזיקאים. הראשון היה למצוא כיצד להשתמש במשוואת שרדינגר כדי להסביר תוצאות שהתגלו בניסויים ולחזות תוצאות של ניסויים נוספים, והשני היה למצוא פרשנות פילוסופית למשוואה המתמטית ולאופי הגלי שהתגלה לכל החלקיקים. באמצע 1926 בורן ניגש לשתי הבעיות במאמר שכותרתו "מכניקת הקוונטים של תהליכי פיזור". במאמר בורן הציג את הקירוב שלו על בסיסה של משוואת שרדינגר, והראה כיצד ניתן להשתמש בו כדי לתאר תהליכי פיזור, שלא היו ניתנים לתיאור במסגרת תורת הקוונטים הישנה. בכך בורן מצא כלי תאורטי לחישוב של ניסויים שלא היו ניתנים לניבוי עד אז. בנוסף בורן הניח במאמר את היסודות לפירוש ההסתברותי של תורת הקוונטים. לפי בורן, פונקציית הגל מאפשרת לחשב את הסיכוי שחלקיק יתפזר בכיוון מסוים, אך לחלקיק יש עדיין מאפיין חלקיקי שמתגלה כאשר החלקיק נמדד. בכך בורן הציג את היסודות לפרשנות קופנהגן. בורן זכה בפרס נובל לשנת 1954 על עבודתו ב"מחקר הבסיסי של מכניקת הקוונטים ובייחוד הפרשנות ההסתברותית של פונקציית הגל".

המשוואה המלאה שמתארת את התפתחות פונקציית הגל בתהליכי פיזור הוצגה על ידי ליפמן ושווינגר ב-1950. בתורת השדות הקוונטית שהוצגה החל מסוף שנות ה-40, סדרת דייסון מהווה הרחבה של קירוב בורן, ומאפשרת פיתוח של תורת השדות באמצעות תורת הפרעות סדר אחרי סדר.

תיאור מתמטי

פיזור אלסטי

בבסיס המיקום

משוואת שרדינגר עבור חלקיק עם אנרגיה $E={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}$ היא:

$(\nabla ^{2}+k^{2})\psi (\mathbf {x} )={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}U(\mathbf {x} )\psi (\mathbf {x} )$

את המשוואה אפשר לפתור באמצעות הטור $\psi (\mathbf {x} )=\sum _{n=0}^{\infty }u_{n}(\mathbf {x} )$ כאשר כל איבר מאפס את האיבר שבא אחריו. כלומר מתקיים:

$(\nabla ^{2}+k^{2})u_{n+1}(\mathbf {x} )=V(\mathbf {x} )u_{n}(\mathbf {x} )$

כאשר $(\nabla ^{2}+k^{2})u_{0}(\mathbf {x} )=0$ (ומכאן $u_{0}(\mathbf {x} )={\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}{(2\pi )^{3/2}}}$) ו-$V={\frac {2mU}{\hbar ^{2}}}$. כעת ניתן לפתור את המשוואות אחת אחרי השנייה באמצעות פונקציית גרין, שעבור אופרטור הלמהולץ היא $G^{+}(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {e^{ik|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}{4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}$. את הפתרון מבצעים רק במרחק גדול מהאזור במרחב בו הפוטנציאל משמעותי, כלומר תחת ההנחה ש-$|\mathbf {x} |\gg |\mathbf {x'} |$ שמביא לכך ש- $|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |\approx |\mathbf {x} |\left(1-{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x'} }{|\mathbf {x'} |}}\right)$. הליך זה נותן:

$u_{n+1}(\mathbf {x} )=-{\frac {e^{ik|\mathbf {x} |}}{4\pi |\mathbf {x} |}}\int d^{3}\mathbf {x'} V(\mathbf {x'} )e^{-ik{\frac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {x'} }{|\mathbf {x} |}}}u_{n}(\mathbf {x'} )$

בסדר הראשון, ניתן לקרב את $\psi$ כסכום של $u_{0}+u_{1}$. זהו קירוב בורן מסדר ראשון. באמצעות הסימון $\mathbf {k'} =k{\frac {\mathbf {x} }{|\mathbf {x'} |}}$ מתקבל:

$\psi _{1}(\mathbf {x} )\propto e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }-{\frac {e^{ik|\mathbf {x} |}}{4\pi |\mathbf {x} |}}\int d^{3}\mathbf {x'} V(\mathbf {x'} )e^{i(\mathbf {k} -\mathbf {k'} )\mathbf {x'} }$

במהלך הפיתוח הונח מספר פעמים שהפוטנציאל הוא לוקלי, ופועל רק בחלק מוגבל של המרחב. הפיתוח כולו מתבצע בגבול כדי שהטור יתכנס נדרש שהפוטנציאל ידעך מהר יותר מ-$K/x^{2}$ בגבול $x\to \infty$. במצב זה ניתן להראות באינדוקציה ש-$|u_{n}(\mathbf {x} )|<{\frac {1}{n!}}\left({\frac {K}{kx}}\right)^{n}$ ולכן הטור מתכנס במידה שווה לפי מבחן M של ויירשטראס.

בבסיס כללי

הפיתוח לעיל בוצע בבסיס המיקום. את קירוב בורן אפשר לפתח בבסיס כללי, ולעיתים נוח יותר להשתמש בבסיס התנע. באופן כללי, קירוב בורן מגיע ממשוואת ליפמן-שווינגר שהיא $|\psi ^{+}\rangle =|\varphi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}+i\epsilon }}{\hat {V}}|\psi ^{+}\rangle$, כאשר $|\psi ^{+}\rangle$ הוא המצב המלא שכולל את הפוטנציאל, $|\varphi \rangle$ המצב החופשי ${\hat {H}}_{0}$ הוא אופרטור ההמילטוניאן של חלקיק כזה, ו-${\hat {V}}$ הוא האופרטור שמתאר את הפוטנציאל. קירוב בורן מחליף את $|\psi ^{+}\rangle$ בצד ימין של המשוואה בטור של $|\varphi \rangle$:

$|\psi ^{+}\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}+i\epsilon }}{\hat {V}}\right)^{n}|\varphi \rangle$

הקירוב מסדר ראשון מתקבל מקטיעת הטור לאחר האיבר הליניארי:

$|\psi ^{+}\rangle =|\varphi \rangle +{\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}+i\epsilon }}{\hat {V}}|\varphi \rangle$.

נוח להגדיר את האופרטור ${\hat {T}}={\hat {V}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{E-{\hat {H}}_{0}+i\epsilon }}\right)^{n}$. לאלמנטים של המטריצה $\langle \mathbf {k'} |{\hat {T}}|\mathbf {k} \rangle$ יש משמעות פיזיקלית לגבי הסיכוי לפיזור.

פיזור לא אלסטי

במקרים מסוימים, כגון במקרה בו אלקטרון מתפזר מאטום, המטרה בה החלקיק הפוגע מתנגש כוללת מספר רמות אנרגיה עצמאיות. במקרה כזה, הגל הפוגע יכול לשנות את המצב העצמי של המטרה, ולהתפזר עם אנרגיה שונה מהאנרגיה המקורית בה הוא התקדם. פיזור כזה נקרא פיזור לא אלסטי.

במקרה כזה, ניתן לתאר את ההמילטוניאן הכולל של המערכת ב-$H=H_{0}+H_{1}=H_{0}^{a}+H_{0}^{e}+\lambda U$ כאשר $H_{0}^{a}$ היא ההמילטוניאן של המטרה, $H_{0}^{e}$ ההמילטוניאן של החלקיק הפוגע ו-$H_{1}=\lambda U$ הפוטנציאל בין החלקיק הפוגע למטרה. את פונקציית הגל ניתן לחלק לפונקציית הגל של החלקיק החופשי ולפונקציית הגל של המטרה. בסוף תהליך הפיזור, המטרה נמצאת בסופר פוזיציה של מצבים עצמיים שלה $|\psi _{m}^{a}\rangle$, והחלקיק החופשי נמצא בסופר פוזיציה של מצבים עצמיים של חלקיק חופשי שהם הגלים הכדוריים $e^{ikr}/r$ והגל המישורי המקורי. את פונקציות הגל הכללית ניתן לפתח בטור בפרמטר $\lambda$ כלומר $|\psi \rangle =\sum _{n=0}^{\infty }\lambda ^{n}|\psi ^{(n)}\rangle$. את משוואת שרדינגר אפשר לפרק לפי הסדר של $\lambda$ ומתקבל:

$({\hat {H}}_{0}-E)|\psi ^{(n+1)}\rangle =-{\hat {U}}|\psi ^{(n)}\rangle$

כעת פונקציית הגל מכל סדר מפורקת לפי המצבים העצמיים: $|\psi ^{(n)}\rangle =\sum _{j}|\psi _{j}^{(n)}\rangle =\sum _{j}|\psi _{j}^{a}\rangle |u_{j}^{(n)}\rangle$. ומכאן:

$({\hat {H}}_{0}-E)|\psi ^{(n+1)}\rangle =\sum _{j}|\psi _{j}^{a}\rangle \left(E_{j}+{\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}-E\right)|u_{j}^{(n+1)}\rangle =-\sum _{m}{\hat {U}}|\psi _{m}^{a}\rangle |u_{j}^{(n)}\rangle$

במצב הראשוני, המערכת נמצאת במצב $|\psi _{\ell }^{a}\rangle |\mathbf {k} \rangle$ ולכן $E={\frac {h^{2}k^{2}}{2m}}+E_{\ell }$. מכאן מתקבלת המשוואה:

$(\nabla ^{2}+k_{m\ell }^{2})u_{m}^{(n+1)}(\mathbf {x} )=\sum _{j}\langle \mathbf {x} |\langle \psi _{m}^{a}|{\hat {V}}|\psi _{j}^{a}\rangle |u_{j}^{(n)}\rangle =\sum _{j}\int dx^{a}{\hat {V}}(x^{a},x)\psi _{m}(x^{a})\psi _{j}(x^{a})u_{j}^{(n)}(\mathbf {x} )$

כאשר $x^{a}$ הם קואורדינטות שמתארות את כל מרכיבי המטרה ו-$k_{m\ell }^{2}={\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(E_{\ell }-E_{m})+k^{2}$. המצב החופשי הוא $u_{j}^{(0)}(\mathbf {x} )=\delta _{j\ell }e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$ ולכן בסדר הראשון מתקבל:

$(\nabla ^{2}+k_{m\ell }^{2})u_{m}^{(1)}(\mathbf {x} )=\int dx^{a}{\hat {V}}(x^{a},\mathbf {x} )\psi _{m}(x^{a})\psi _{\ell }(x^{a})e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }$

שפתרונה בהתאם לפונקציות גרין היא:

$u^{(1)}(\mathbf {x} )=-{\frac {e^{ik_{m\ell }|\mathbf {x} |}}{4\pi |\mathbf {x} |}}\int dx^{a}d^{3}\mathbf {x'} V(x^{a},\mathbf {x'} )\psi _{m}(x^{a})\psi _{n}(x^{a})e^{i(\mathbf {k} -\mathbf {k} _{m\ell }')\cdot \mathbf {x'} }$

בהתאם לפונקציה זו ניתן לחשב את סיכויי המעבר של חלקיק ממצב ראשוני מסוים למצב אחר כתוצאה מאינטראקציה עם גל

פרשנות לתוצאות וחתך הפעולה

חתך הפעולה

פונקציית הגל שמתקבלת כתוצאה מקירוב בורן היא שילוב של גל מישורי שמתקדם מכיוון מסוים לעבר הפוטנציאל, וגל כדורי שיוצא מהפוטנציאל לכל הכיוונים. החוזק של הגל היוצא תלוי בפוטנציאל ובכיוון ממנו מגיע הגל הנכנס. הפרשנות שנתן בורן לתוצאה הזו היא שהגל המישורי מתאר קרן של חלקיקים שנורים לעבר מטרה. הגל היוצא מתאר את החלקיקים שמתפזרים מהפוטנציאל לכל הכיוונים. המקדם של פונקציית הגל היוצאת (התלוי בכיוון) הוא אמפליטודת ההסתברות שחלקיק בקרן יתפזר לכיוון הזה.

כלומר אם פונקציית הגל נכתבת כ-$\psi (x)=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }+f(\mathbf {k'} ,\mathbf {k} ){\frac {e^{ik|\mathbf {x} |}}{|\mathbf {x} |}}$ אז הסיכוי שחלקיק יתפזר לזווית המרחבית הדיפרנציאלית $d\Omega$ אליה מכוון $\mathbf {k'}$ הוא ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=|f(\mathbf {k'} ,\mathbf {k} )|^{2}$. ביטוי זה נקרא חתך הפעולה הדיפרנציאלי. בפיזור אלסטי, הסדר הראשון בקירוב בורן מקיים $f^{(1)}(\mathbf {k'} ,\mathbf {k} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\int d^{3}\mathbf {x'} e^{i(\mathbf {k'} -\mathbf {k} )\cdot \mathbf {x'} }V(\mathbf {x'} )$.

אם הפוטנציאל הוא בעל סימטריה ספרית, כלומר מתקיים $V(\mathbf {x} )=V(|\mathbf {x} |)$, אז ניתן להציג את הביטוי לקירוב מסדר ראשון כפונקציה של הזווית בין $\mathbf {k}$ ל-$\mathbf {k'}$. במקרה כזה מתקיים: $f^{(1)}(\theta )=-{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}{\frac {1}{q}}\int rV(r)\sin(qr)dr$ כאשר $q=2k\sin(\theta /2)$.

בבסיס כללי מתקבל $f(\mathbf {k'} ,\mathbf {k} )=-{\frac {1}{4\pi }}{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}\langle \mathbf {k'} |{\hat {T}}|\mathbf {k} \rangle$ כשאת אופרטור המעבר ניתן לפתח בקירוב בורן לפי הטור לעיל.

פרשנות הסתברותית

הפרשנות ההסתברותית הוצעה על ידי בורן למרות שפונקציית הגל שהקירוב שלו מתאר היא פונקציית גל לא תלויה בזמן, ושאין בה לבדה שום דבר שמבטא חלקיקים שנורים לעבר מטרה. משוואת שרדינגר ממנה התחיל בורן את הפיתוח מתארת חלקיק יחיד ולא אוסף של חלקיקים. את הפרשנות ניתן להצדיק בצורה טובה יותר מבחינה מתמטית אם מתייחסים לפונקציית הגל לפני הפיזור לא כפונקציית גל שמתארת גל מישורי, אלא כפונקציה שמתארת חבילת גלים צרה במרחב התנע, שמרוכזת מסביב למספר הגל $\mathbf {k}$. בצורה זו, משוואת שרדינגר ללא הפוטנציאל מתארת התקדמות של חלקיק עם תנע ידוע בדיוק רב (אך לא אינסופי) ולכן לפי עקרון האי-ודאות מיקום מרחבי ידוע בדיוק נמוך הפיזור שמתואר על ידי בורן מתאר איך החבילה הזו מתפזרת לכיוונים שונים. את התיאור הזה ניתן לבצע בצורה מדויקת אף יותר באמצעות משוואת שרדינגר התלויה בזמן, וההבחנה שחבילת הגלים תבצע אינטראקציה משמעותית עם הפוטנציאל רק לפרק זמן קטן יחסית. בצורה זו קירוב בורן מתקבל מתורת הפרעות תלויה בזמן. פיתוח בסגנון זה עבור פיזור לא אלסטי בוצע לראשונה על-ידי דיראק ב-1927 והתוצאה שלו ידועה בתור כלל הזהב של פרמי. הפרשנות ההסתברותית שבורן הציע התפתחה לפרשנות ההסתברותית של תורת הקוונטים.

משמעות הסדרים בקירוב בורן

קירוב בורן מאפשר פיתוח של פונקציית הגל סדר אחרי סדר. הסדר האפס מתאר גל שמתקם בלי שום אינטראקציה עם הפוטנציאל. את הסדר הראשון ניתן להסביר בכך שלגל מתאפשר לבצע אינטראקציה מקומית יחידה עם הפוטנציאל במקום יחיד במרחב, והוא מתפזר כתוצאה מהאינטראקציה הזו. הסדר השני מתאר מצב שבו הגל ביצע אינטראקציה עם הפוטנציאל בנקודה אחת, והגל הכדורי שהתפזר כתוצאה מאינטראקציה זו ביצע אינטראקציה עם הפוטנציאל במקום אחר. וכן הלאה וכן הלאה. יש להדגיש שלא מדובר בכך שהחלקיק הפוגע ביצע אינטראקציות עם מספר מטרות שונות (כמו שקורה לדוגמה כאשר אלקטרון מבצע אינטראקציה עם מטרה הכוללת מספר רב של אטומים), אלא בכך שהאינטראקציה הכוללת עם המטרה היחידה מורכבת ממספר אינטראקציות לוקליות עם המטרה הזו.

דוגמאות

פוטנציאל יוקאווה

דוגמה פשוטה לקירוב בורן מתקבלת מפוטנציאל יוקאווה $V(r)={\frac {V_{0}}{\mu r}}e^{-\mu r}$. במקרה זה מתקבל ש-$f^{(1)}(\theta )=-{\frac {2mV_{0}}{\mu \hbar ^{2}}}{\frac {1}{q^{2}+\mu ^{2}}}=-{\frac {2mV_{0}}{\mu \hbar ^{2}}}{\frac {1}{2k^{2}(1-\cos \theta )+\mu ^{2}}}$. ולכן חתך הפעולה הדיפרנציאלי הוא: ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}=\left({\frac {2mV_{0}}{\mu \hbar ^{2}}}{\frac {1}{2k^{2}(1-\cos \theta )+\mu ^{2}}}\right)^{2}$. אינטגרל על הזוויות המרחביות נותן:

$\sigma =\int {\frac {d\sigma }{d\Omega }}d\Omega =2\pi \int _{0}^{\pi }\sin \theta \left({\frac {2mV_{0}}{\mu \hbar ^{2}}}{\frac {1}{2k^{2}(1-\cos \theta )+\mu ^{2}}}\right)^{2}d\theta ={\frac {4m^{2}V_{0}^{2}}{\mu ^{2}\hbar ^{4}}}{\frac {4\pi }{4k^{2}\mu ^{2}+\mu ^{4}}}$.

פוטנציאל קולון

פוטנציאל החשמלי מתקבל מהגבול של פוטנציאל יוקאווה בו $\mu \to 0;V/\mu \to e^{2}$ בגבול זה מתקיים ${\frac {d\sigma }{d\Omega }}={\frac {e^{2}}{16E_{K}\sin(\theta /2)^{4}}}$ כאשר $E_{k}=p^{2}/2m=\hbar ^{2}k^{2}/2m$. זוהי הנוסחה שמתקבלת באופן קלאסי לפיזור מפוטנציאל קולון. יש לשים לב שההנחות שעומדות בבסיס קירוב בורן לא מתקיימות עבור הפוטנציאל הזה, ושחתך הפעולה מתבדר בגבול בו $\theta \to 0$. עם זאת, היחס הצפוי בין זוויות אחרות כן נצפה בניסוי, והוא נמדד בניסוי רתרפורד שהביא את מודל האטום של רתרפורד.

מקורות

• Max Born, Quantum mechanics of scattering processes, [1] (במקור בגרמנית)
• Max Born, The statistical interpretation of quantum mechanics - Nobel prize lecture 1954, [2]
• K. Schönhammer, Göttingen and quanutum mechanics, [3]
• JJ Sakurai, Modern quantum mechanics, pages 386-390
• C. Cohen-Tanoudji, B Diu, F Laloe, Quantum mechanics Vol 2, pages 915-921