פלינדרום

מספר רכב פלינדרומי

פָּלִינְדְרוֹם (מיוונית: πάλιν (פַּלִין – "שוב", "הפוך"), δρóμος (דרוֹמוֹס – "כיוון")) הוא מילה, מספר, משפט או כל רצף סמלים אחר, שקריאתו מימין לשמאל ומשמאל לימין היא זהה. האקדמיה ללשון העברית טבעה את המונח "מִלָּה מִתְהַפֶּכֶת" לפלינדרום (או "משפט מתהפך" וכו' בהתאם לסוג הפלינדרום).

בפלינדרום מילולי נהוג בהיבט הפלינדרומי להתעלם מרווחים, סימני ניקוד, סימני פיסוק, הבדלים בין אותיות קטנות לגדולות, בשפות הרלוונטיות, ובין אותיות רגילות לסופיות בשפות הרלוונטיות. הפלינדרום ומשמש, בין היתר, לשעשועי לשון ושימוש בתכונותיו נפוץ בהגדרות תשבצי היגיון.

סוגי פלינדרומים

סימטריה באותיות

סוג הפלינדרומים הנפוץ ביותר הוא הסימטרי באותיות כמו "מילים", "לבלבל", "היפהפיה" או "איש זריז זירז שיא".

סימטריה במילים

פלינדרומים שהסימטריה בהם מתבטאת בסדר המילים. כגון "נחסם המעבר דרך הרחוב: דרך המעבר – נחסם". ישנם סיפורים המשתמשים בפלינדרום מילים כאמצעי אמנותי, למשל הסיפור "פרופסור ג'ונס" מאת סופר המדע בדיוני פרדריק בראון.

סימטריה באותיות ומילים

דוגמאות:

• "מוּם תַּחַת מוּם"
• "הַלַּיְלָה נַגֵּן, נַגֵּן הַלַּיְלָה!"
• ילד נתן דלי

סימטריה דו-ממדית

ריבועי קסם פלינדרומים כגון 'פרשנו רעבתן...' ו-'SATOR AREPO...' המוזכרים בהמשך.
דוגמה נוספת:

• הממשל מתעקש, מעמעם, שקעתם לשממה. בריבוע:

ה מ מ ש ל

מ ת ע ק ש

מ ע מ ע מ

ש ק ע ת מ

ל ש מ מ ה

פלינדרומים מספריים

מספרים שספרותיהם סימטריות. לדוגמה:

• 11
• 101
• 666
• 141141
• 1,457,541
• 663,666,366
• 999,999,999
• 123,123,321,321
• 696,566,665,696
• 1,000,000,000,000,066,600,000,000,000,001

מספר חד-ספרתי הוא פלינדרום טריוויאלי.
חידות בפלינדרומים מספריים:

נתון המספר 1,356. הפכו את סדר ספרותיו וחברו את המספר שקיבלתם למספר הנתון. התוצאה שקיבלתם היא מספר פלינדרומי.

מספר ליישרל בנוי על בדיקת תכונה זו.

כפלו מספר מסוים המורכב מהספרה 1 בלבד בעצמו וקבלו מספר פלינדרומי – 111*111=12,321.

כל מספר פלינדרומי בעל מספר זוגי של ספרות מתחלק ב-11. כאשר הפלינדרום מורכב מספרות בסדר עולה עד אמצעו (ואחר כך בסדר יורד) התוצאה של החלוקה ב-11 גם היא פלינדרום (לדוגמה: 2345995432 חלקי 11 שווה 213272312).

בשנת 2016 הוכח כי ניתן לכתוב כל מספר שלם חיובי כסכום של שלושה מספרים פלינדרומיים, וזאת בכל בסיס מלבד 2 ומלבד אולי 3 ו-4.

פלינדרומים תאריכיים

פלינדרום תאריכי הוא תאריך המהווה פלינדרום (נהוג להתייחס בעניין זה לתאריך בתצורה מלאה של שמונה ספרות במבנה dd.mm.yyyy, כאשר dd מסמלים יום בחודש, mm מסמלים חודש בשנה, ו-yyyy מסמלים את השנה). דוגמאות:

• 29.11.1192
• 10.02.2001
• 20:02 20.02.2002 (שמונה ושתי דקות בערב 20 בפברואר 2002).
• 01.02.2010
• 12.02.2021
• 03.02.2030

דוגמאות לפלינדרומים בעברית

מילים פלינדרומיות

2 אותיות: "גג", "וו", "זז", "חח", "כך", "צץ", "שש", "תת".

3 אותיות: "אבא", "אמא", "דוד", "מים", "שמש", "סוס", "לול", "תות".

4 אותיות: "הווה", "הזזה", "הצצה", "סייס", "קייק".

5 אותיות: "אלמלא", "לבלבל", "לטלטל", "למלמל", "מעמעם", "מצמצם", "ידידי", "תודות".

6 אותיות: "תוססות", "מיללים"

7 אותיות: "היפהפיה", "מישמשים"

נכון ל-2021, המילה הפלינדרומית הארוכה ביותר הידועה בשפה העברית (בכתיב המלא התקני) היא באורך 11 אותיות: "מכיתומותיכם" (התגלתה על ידי ד"ר איל גרוס).

שמות פלינדרומיים

שלושה דורות בתנ"ך הנושאים שמות פלינדרומיים: ישי, דוד ונתן (ישי היה אבי דוד ונתן אחד מבניו). מלך יהודה, אסא, אף הוא מצאצאי ישי.

המילה הפלינדרומית הארוכה ביותר בתנ"ך היא "לאיתיאל", המופיעה בספר משלי, פרק ל', ועל שמה קרא רבי יהודה אלחריזי לספרו "מחברות איתיאל". שם אחת המחברות הוא "מחברת האותיות המתהפכות", שמכילה מספר רב של פלינדרומים. צירוף המילים הפלינדרומי הארוך בתנ"ך הוא "לאיתיאל לאיתיאל", המופיע באותו פסוק במשלי.

צירוף של שם פרטי ושם משפחה היוצרים יחד פלינדרום, הוא "נועם שמעון", "רפי צנציפר", וכך גם שמו של מחבר תשבצי ההיגיון נדיב אבידן (שילוב השם הפרטי ושם המשפחה שלו פלינדרומי, בין היתר, גם באנגלית, בערבית וברוסית).

משפטים פלינדרומיים

• רופא שפשף פשפש אפור.
• מי למֵד מִלים?
• ילד כוֹתב שמש בתוך דלִי.
• רבע הלילה עבר.
• מי אמר שֶיש רמאִים?
• רק פושטק עלוב בולע קטשופ קר (נוצר על ידי המשורר ערן הדס).
• ובגמר חמשה חמשי תורה, נהרות ישמח השמח, רם גבו! (נוצר על ידי עקיבא ויטקין).

תור הזהב של יהדות ספרד הצטיין במשוררים ובאשפי כתיבה, שחיברו, בין היתר, משפטים פלינדרומים. להלן דוגמאות של פלינדרומים מאת רבי אברהם אבן עזרא:

• שאלו את רבי אברהם אבן עזרא בזו הלשון:

"אָבִי, אֵל חַי שִׁמְךָ, לָמָּה מֶלֶךְ מָשִׁיחַ לֹא יָבֹא?"

• ותשובתו:

"דְּעוּ מֵאֲבִיכֶם כִּי לֹא בּוֹשׁ אֱבוֹש, שׁוּב אָשׁוּב אֲלֵיכֶם כִּי בָא מוֹעֵד!"

המשפט הבא יסודו בפסק הלכה של אברהם אבן עזרא על שאלה בקשר לזבוב שנכנס לתוך חבית דבש: האם הדבש כשר למאכל? התשובה הפלינדרומית: "פרשנו רעבתן שבדבש נתבער ונשרף". הפירוש: למדנו, זבוב הנופל לדבש מתאכל ונעלם (ולכן כשר). משפט זה הוא גם רקורסיה לשונית וגם אקרוסטיכון, ואפשר לסדר אותו כ"ריבוע קסם" בגודל 5x5 ולקוראו מימין-מעלה לשמאל-מטה או להפך, כדלהלן:

פ ר ש נ ו

ר ע ב ת נ

ש ב ד ב ש

נ ת ב ע ר

ו נ ש ר פ

בשנת 2021 יצא לאור ספרו של שמעון אדף בעל השם הפלינדרומי "הלשון נושלה".

פלינדרום לפי מילים

משפט כזה מסודר כך שסדר המילים מהסוף להתחלה, ומההתחלה לסוף, נקרא בצורה זהה, אם כי הפיסוק יכול להיות שונה.
קטע מספרו של סופר המדע הבדיוני פרדריק בראון בתרגומו של עדי צמח. שם הסיפור המתורגם הוא פלינדרום לפי אותיות: "עגיל זמן; מזל יגע". עבודת התרגום הייתה אתגר של ממש, והמתרגם נדרש בה לשמר את הפלינדרום בעברית:

הפרופסור ג'ונס הרבה לְהקדיש זמן לִבעיות זמן. שנים על שנים. המשוואה של הנוסחה נתגלתה לבסוף, וכך נסתיים החיפוש. לבתו סיפר זאת הפרופסור בהתלהבות: "זמן הוא שדה. בניתי בעצמי המכוֹנָה את הזמן לשנות כָּלִיל ואף להפוך כיוון מעבר לעתיד", כך אמר. הפרופסור אז לחץ כפתור בהכריזו: "עכשיו גרמתי לזמן לזרום אחורנית לזרום לזמן גרמתי עכשיו". בהכריזו, כפתור לחץ. אז הפרופסור אמר כך: "לעתיד מעבר כיוון להפוך, ואף כָּלִיל לשנות הזמן, את המכוֹנָה בעצמי בניתי. שדה הוא זמן". בהתלהבות הפרופסור זאת סיפר לבתו. החיפוש נסתיים, וכך לבסוף נתגלתה הנוסחה של המשוואה. שנים על שנים, זמן לִבעיות זמן לְהקדיש הִרבה ג'ונס הפרופסור.

המקור באנגלית

Professor Jones had been working on time theory for many yeras.

"And I have found the key equation," he told his daughter one day. "Time is a field. This machine I have made can manipulate, even reverse, that field."

Pushing a button as he spoke, he said, "This should make time run backward backward run time make should this," said he, spoke he as button a pushing.

"Field that, reverse even, manipulate can made have I machine this. Field is a time." Day one daughter his told he, "Equation key the found have I and."

"Years many for theory time on working been had Jones Professor."

בברכת הלבנה (תפילה הנאמרת פעם בחודש תחת כיפת השמים) אומרים פסוק מהמקרא ”תִּפֹּל עֲלֵיהֶם אֵימָתָה וָפַחַד בִּגְדֹל זְרוֹעֲךָ יִדְּמוּ כָּאָבֶן” בצורה רגילה ובצורה פלינדרומית לפי מילים ”כָּאָבֶן יִדְּמוּ זְרוֹעֲךָ בִּגְדֹל וָפַחַד אֵימָתָה עֲלֵיהֶם תִּפֹּל”.

פלינדרומים ארוכים בעברית

הפלינדרום הארוך ביותר בעברית (הכולל 2,662 מילים ו־9,779 אותיות) הוא שיר סיפורי בשם "משהו נוצר כרצונו, השם", שנכתב על ידי הפלינדרומאי נעם דובב ופורסם ביולי 2024. דובב יצר גם את הפלינדרום השני באורכו (הכולל 2,552 מילים ו־8,668 אותיות) בשם "גישה אל שיא איש לא השיג" ופורסם במאי 2023; ואת השלישי באורכו (הכולל 1,881 מילים ו-7,557 אותיות), ששמו "שונא דּחיַּת יחד אנוש", בנובמבר 2022; וכן את הרביעי באורכו, "...Did & did & did" (הכולל 1,331 מילים ו-3,883 אותיות). לכל הפלינדרומים הללו מספר מילים ומספר אותיות פלינדרומי, והשמות בעברית ובאנגלית שלהם אף הם פלינדרומיים.

הרב יהודה (יוליוס) הירש כתב הספד פלינדרומי (248 מילים, 902 אותיות) על אביו, רש"ר הירש, שמתחיל במילים:

הרועים וקראים בשם המה מתי אל...

ומסתיים, בהתאמה, במילים:

...לא יתמהמה, משבם יאר קומי עורה!

פלינדרום זה, שפורסם בסוף המאה ה-19, היה ככל הידוע הפלינדרום הארוך ביותר בעברית במשך כ-120 שנה עד אשר השיא נשבר על ידי דובב.

פלינדרומים בשפות אחרות

גם את הפלינדרום "Sator Arepo tenet opera rotas" אפשר לסדר בצורת אקרוסטיכון ולקבל תוצאה זהה בכל הצדדים

באימפריה הביזנטית נהוג היה לחרות על אגן טבילה (למשל בכנסיית איה סופיה) את הפלינדרום ביוונית ΝΙΨΟΝ ΑΝΟΜΗΜΑΤΑ ΜΗ ΜΟΝΑΝ ΟΨΙΝ שפירושו: "רחץ חטאיך, לא רק פניך"

אנגלית:

• Satan, oscillate my metallic Sonatas (ב-1992 הוציאה להקת הרוק סאונדגארדן אלבום בשם זה)
• דו-שיח בגן עדן:

אדם: Madam, I'm Adam

חווה: Eve

• בשנת 1914 יצר Leigh Mercer את הפלינדרום A man, a plan, a canal - Panama
• Race Car
• גיבור הספר "בורות" של לואיס סאקר הוא בעל שם פלינדרומי: Stanley Yelnats (בעברית: סטנלי ילנטס). גם אביו, סבו ואבי־סבו נקראו כך בשל הייחוד שבשם – עצם היותו פלינדרום.
• פורסמו שני רומנים שהם פלינדרומים: Satire: Veritas מאת דייוויד סטיבנס, שיצא לאור ב-1980 וכולל 58,795 אותיות; ו-Dr Awkward & Olson in Oslo מאת לורנס לוין, שפורסם ב-1986 וכולל 31,954 מילים.
• המגזין של החברה הזואולוגית בסן דייגו בקליפורניה נקרא בשם הפלינדרומי (שהוא גם אמביגרמה) ZOONOOZ.

גרמנית:

• Ein Neger mit Gazelle zagt im Regen nie
• Die Liebe ist Sieger; stets rege ist sie bei Leid
• Eine güldne, gute Tugend: Lüge nie!

בלטינית נכתב פלינדרום בעל אופי דומה לזה של "פרשנו רעבתן...": Sator Arepo tenet opera rotas. פלינדרום זה נמצא כגרפיטי שנרשם על קיר בפומפיי בשנת 79 והוא ככל הנראה הפלינדרום העתיק בעולם הידוע כיום.

S A T O R
A R E P O
T E N E T
O P E R A
R O T A S

ברוסית כתבו פלינדרומים משוררים פוטוריסטים כמו חלבניקוב (הפואמה "ראזין") ומאיאקוסקי ואחריהם אי. סלווינסקי וסביילי גרינברג. דוגמה לפלינדרום מאת סביילי גרינברג:

Тaбор кагор рог акробат

Табор катит Акробат
Ценам - утро, мор, туманец
цен, а букли вил - кубанец
Так-то так-с. И скат - откат.

Трат сатрап и парта - старт.
Ода Чадо Ода Чадо

Табор катит. Акробат
Дар тоски и икс оград.

הפלינדרום בן 19 האותיות בפינית "Saippuakivikauppias", שפירושו "מוכר סבון", נכנס לספר השיאים של גינס כמילה הפלינדרומית הארוכה ביותר.

פלינדרומים במוזיקה

ישנן מספר יצירות מוזיקליות שנחשבות לפלינדרומיות. הסימפוניה מספר 47 של יוזף היידן מכונה "הפלינדרום". בפרק השלישי, מינואט וטריו, חציו השני של המינואט הוא היפוכו של חציו הראשון ובדומה לכך גם הטריו. לאחר מכן חוזר המינואט.

באופרה "לולו" של אלבן ברג יש אינטרלוד פלינדרומי.

מבנים פלינדרומיים בביולוגיה

שתי לולאות במולקולת דנ"א, שנוצרות בגלל קטעים פלינדרומיים

• בגנומיקה מושג הפלינדרום הוא מעט שונה. מולקולת DNA מורכבת משרשרת נוקלאוטידים, שאלה הם אחד מארבעה הבסיסים חנקניים: אדנין (A), גואנין (G), תימין (T) וציטוזין (C). כשהם מסודרים בסליל הכפול לכל בסיס יש בן זוג קבוע: פורין A הוא בן זוג קבוע לפירימידין T, ופורין G הוא בן זוג קבוע לפירימידין C. לכן בהינתן רצף (חד גדילי) של בסיסים ניתן לדבר על הרצף המשלים שלו. רצף נקרא פלינדרום אם הוא שווה לרצף המשלים שלו בהיפוך. לדוגמה ACCTAGGT הוא פלינדרום כי המשלים שלו הוא TGGATCCA אשר שווה להיפוך שלו.
• מולקולת DNA שהיא פלינדרומית יכולה ליצור מבנה של "סיכת שער" (hairpin) והתופעה מתרחשת בחיידקים שונים.
• מבנים פלינדרומיים גם מאפשרים לכרומוזום Y לתקן עצמו^{[דרוש מקור]}.
• טכנולוגית CRISPR, היא בראשי תיבות Clustered Regularly Interspaced Short Palindromic Repeats, מה שמצביע על עקרון הפעולה של אנזימים אלו, המזהים רצפים פלינדרומיים.

תורת החישוביות

בתורת החישוביות, בהיררכיה של חומסקי, פלינדרומים הם דוגמה ידועה לשפה שהיא חסרת הקשר אך לא שפה רגולרית בכל אלפבית (פרט לאונרי). דהיינו אין אוטומט סופי (מכונה עם זיכרון קבוע) שיכול לזהות פלינדרומים. יתרה מזאת, אין גם אוטומט מחסנית דטרמיניסטי שיכול לזהות פלינדרומים. מאידך, ידועים אלגוריתמים עם סיבוכיות זמן ריצה ליניארית שיכולים לזהות את תת-המחרוזת הפלינדרומית הארוכה ביותר של מחרוזת נתונה.

לקריאה נוספת

• נעם דובב, הלימת מילה, הוצאת ברחש, 2020
• נעם דובב, כְּשֶׁחָשַׁךְ, הוצאת ברחש, 2022

• Jon Agee, Go Hang a Salami, I'm a Lasagna Hog! and Other Palindromes (באנגלית)

קישורים חיצוניים

• זיווה דויטש, עקיבא קדרי, יבין ניבי - על פלינדרומים ועל מספרים פלינדרומיים, באתר "אלף אפס", דרך ארכיון האינטרנט
• השיר Bob. שיר פלינדרומים של אל ינקוביץ', פרודיה על בוב דילן
• פלינדרום VS אמביגרמה, אתר דומילה
• האתר של נעם דובב, "פלינדרום + יתר יצירתי"
• אמיר בקר, ‏כּוֹפֶה: מילים הפוֹך", על פלינדרומים והיפוכם, הו! 3, פברואר 2006, עמ' 246–253
• אמיר בקר, ‏כבלים - ארבעה שירים פלינדרומיים חרוזים, הו! 4, ספטמבר 2006, עמ' 132–134
• רועי צ'יקי ארד, פלינדרום - איך אפשר לקרוא את זה?, באתר הארץ, 28 בפברואר 2013
• יובל פלוטקין, את הספר הזה אפשר לקרוא גם מהסוף להתחלה, באתר ynet, 2 במרץ 2020
• איילת ספירשטיין, עד מהרה זהר המדע, באתר מדע גדול, בקטנה, ‏7 ביולי 2020

• פלינדרום, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)