פונקציית L

תצוגה גרפית של פונקציית זטא של רימן המהווה ארכיטיפ של כל פונקציות ה-L.

בתורת המספרים ובתחומים אחרים במתמטיקה, פונקציית L הוא שם לכמה פונקציות מרוכבות החולקות מספר תכונות משותפות עם הדוגמה הראשונה והחשובה ביותר לפונקציה כזו - פונקציית זטא של רימן. המושג אינו מוגדר באופן מדויק אך בדרך כלל מוסכם למדי.

הגדרות

המושג פונקציית L מתייחס בדרך כלל לפונקציות מרוכבות המקיימות את ארבע התכונות הבאות:

1. מרומורפיות בכל המישור המרוכב.
2. יש להן פיתוח לטור דיריכלה, בצורה $\ L(s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$, המתכנס כאשר החלק הממשי של s גדול מספיק.
3. יש להן פיתוח למכפלת אוילר, מהצורה $\ L(s)=\prod _{p}L_{p}(s)$, כאשר המכפלה היא על-פני המספרים הראשוניים, ו - $L_{p}(s)$ הן פונקציות רציונליות ב -$p^{s}$.
4. הן מקיימות משוואה פונקציונלית, את $\ L(1-s)$ עם $\ L(s)$ הדומות לזאת שמקיימת בפונקציית זטא של רימן.

תכונות 2,3 קשיחות, וכל הדוגמאות לפונקציות L מקימות אותן. תכונה 1 רכה יותר, וישנן דוגמאות לפונקציות הנקראות פונקציות L אך לא ידוע אם הן מקימות תכונה זו, אם זאת במקרים אלה משערים שהתכונה אכן מתקיימת. תכונה 4 לא מנוסחת היטב, ובהקשרים שונים מנסחים אותה באופן שונה. גם היא במקרים רבים השערה בלבד.

דוגמאות

בין הסוגים החשובים ביותר של פונקציות L אפשר למצוא את פונקציות L של דיריכלה, פונקציות זטא של דדקינד, פונקציות L של ארטין, פונקציות L של תבניות מודולריות, פונקציות L של עקומים אליפטיים ורבות אחרות.

פונקציות L ופונקציות זטא

אם המקדמים $a_{n}$ של הפיתוח של פונקציית L לטור הדיריכלה חיוביים, אז נהוג לקרא לפונקציית L, פונקציית זטא. אולם המושג פונקציית זטא גמיש יותר ומכיל לעיתים גם פונקציות שלא מקימות את התכונות 1-4 למעלה.

שימושים

התפלגות ראשוניים

נוסחת המכפלה של אוילר (תכונה 3 למעלה) יוצרת קשר בין פונקציית L (כפונקציה מרוכבת אחת) ובין שאלות הקשורות למספרים ראשוניים. באופן מפורש יותר, עם לוקחים לוגריתם לשני צדדי הנוסחה ומציבים ערכים שונים של $s$ מקבלים שוויון הקושר בין ערכי פונקציית L לבין סכומים של ביטויים מתאימים על כל הראשוניים. באופן פרקטי, בדרך כלל עדיף להחליף את הלוגריתם בנגזרת הלוגוריתמית מכיוון שהיא שומרת על המרומורפיות של הפונקציה. יתר התכונות של פונקציית L מספקות מידע רב על אגף שמאל של שוויון זה. לאפסים של פונקציית L יש תפקיד מיוחד מכיוון שהם הקטבים של הנגזרת הלוגוריתמית של פונקציית L (ונקודות הסתעפות של הלגוריתם שלה)

השערת רימן המוכללת נוגעת למידע על אפסים של פונקציות L רבות.

הטבלה הבאה מסכמת מספר דוגמאות לקשר בין פונקציות L למספרים ראשוניים.

פונקציית L	אובייקט נחקר	תוצאות על התפלגות מספרים ראשוניים
פונקציית זטא של רימן	מספרים ראשוניים	התבדרות טור ההופכיים של המספרים הראשוניים, משפט המספרים הראשוניים, הנוסחה המפורשת של רימן-מנגולד
פונקציית L של דיריכלה	מספרים ראשוניים בסדרה חשבונית	משפט דיריכלה וגרסאותיו הכמותיות
פונקציית L של ארטין	איברי פרובניוס של ראשוניים שונים בהרחבה נתונה	משפט הצפיפות של צ'בוטרב, משפט פרובניוס (תורת המספרים האלגברית)

השוואה בין אובייקטים

פונקציות L משמשות להשוואה בין אובייקטים מתחומים שונים במתמטיקה. לעיתים לשני אובייקטים כאלה מתאימה אותה פונקציית L. דבר זה מצביע על קשר ביניהם ויכול לשמש להעברת מידע בין תחומים שונים במתמטיקה. דוגמה קלאסית לתופעה זו היא השערת טניאמה-שימורה (כיום משפט המודולריות) שמראה את הקשר בין פונקציות L של עקומים אליפטיים ופונקציות L של תבניות מודולריות. המשפט קובע כי לכל עקום אליפטי ישנה תבנית מודולרית בעלת פונקציית L אשר זהות זו לזו. משפט זה היווה חלק מרכזי בהוכחת המשפט האחרון של פרמה.

משפט טניאמה-שימורה מהווה מקרה פרטי של סדרה מרחיקת לכת של השערות הקרויה תוכנית לנגלנדס. גם בתוכנית זו לפונקציות L יש תפקיד מרכזי בהתאמה בין האובייקטים השונים.

לקריאה נוספת

• Mathematical Society of Japan's Encyclopedic Dictionary of Mathematics (pp 1372-1392), MIT Press, 1977.

קישורים חיצוניים

• "LMFDB, the database of L-functions, modular forms, and related objects".
• פונקציית L, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• פונקציות L, דף שער בספרייה הלאומית