אינטגרל רימן

באנליזה ממשית, אינטגרל רימן, שנוצר על ידי ברנהרד רימן, היה ההגדרה המדוקדקת הראשונה של אינטגרל כפונקציה של קטע. רעיון זה הוצג בפני הפקולטה באוניברסיטת גטינגן בשנת 1854, אך לא פורסם בכתב עת עד שנת 1868. עבור פונקציות רבות ויישומים פרקטיים, ניתן להעריך את אינטגרל רימן על ידי המשפט היסודי של החשבון הדיפרנציאלי והאינטגרלי או לבצע קירוב באמצעות שיטות נומריות.

סקירה כללית

האינטגרל כשטח של אזור תחת עקומה.

רצף של סכומי רימן עבור חלוקות משתנות של מרווחים. המספר מעלה הוא השטח הכולל של המלבנים, שמתכנס לאינטגרל של הפונקציה.

החלוקה של הקטעים אינה חייבת להיות אחידה, כפי שמוצג כאן. הקירוב תקף כל עוד רוחב של כל חלוקה שואף לאפס.

תהי $f$ פונקציה אי-שלילית בעלת ערך ממשי בקטע $[a,b]$, ויהי $S=\left\{(x,y)\,:\ a\leq x\leq b,0<y<f(x)\right\}$ האזור מתחת לגרף הפונקציה $f$ ומעל המרווח $[a,b]$ (דוגמה באיור מימין). נמדוד את שטח $S$ ואחר כך נסמנו כך: $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x$.

הרעיון הבסיסי בשיטה של רימן הוא להשתמש בקירובים פשוטים מאוד לשטח של $S$ באמצעות מלבנים. ככל שמחלקים את הקטע $[a,b]$ ליותר תתי-קטעים, ישנם יותר מלבנים, ובכך הקירוב מדויק יותר. כאשר מספר המלבנים שואף לאינסוף, ניתן לומר שהשטח של סכום כל המלבנים שווה לשטח $S$ שמתחת לגרף.

נשים לב כי $f$ יכולה להיות חיובית או שלילית, ההגדרה של $S$ משתנה כך שהאינטגרל תואם את האזור התחום מתחת לגרף של $f$ : כלומר, האזור שמעל ציר $x$ פחות השטח שמתחת לציר $x$. ניתן להסתכל על האינטגרל אם כן כדרך חישוב ל"שטח עם סימן".

אינטגרל רימן אינו מתאים להרבה שימושים תאורטיים. שיטה מקבילה, אינטגרל רימן-סטילטג'ס , היא בעלת דיוקים טכניים המגשרת מעל החסרונות באינטגרציה של רימן, ורובם נעלמים בשיטת אינטגרל לבג, אף על פי שלאחרון אין טיפול מספק באינטגרלים לא אמיתיים. אינטגרל הנסטוק הוא הכללה של אינטגרל לבג שדומה יותר לאינטגרל רימן. תיאוריות כלליות יותר מאפשרות טיפול בפונקציות "משוננות" יותר או "מתנודדות מאוד" מה שאינטגרל רימן אינו מספק; אך התיאוריות נותנות ערך זהה לאינטגרל של רימן כאשר הוא קיים.

הגדרה

חלוקה של קטע

חלוקה $P$ של קטע $[a,b]$ היא רצף של $n$ נקודות ב-$[a,b]$ המקיימות: $a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\dots <x_{n}=b$. כל $[x_{i},x_{i+1}]$ נקרא תת-קטע של החלוקה.

פרמטר החלוקה או הנורמה של $P$ מסומן ב-$\lambda (P)$ ומוגדר כאורכו של התת-קטע הארוך ביותר שלה. כלומר $\lambda (P)=\max\{x_{i+1}-x_{i}\mid 0\leq i\leq n-1\}$.

סכום רימן

תהי $f$ פונקציה ממשית על הקטע $[a,b]$. סכום רימן של $f$ ביחס לחלוקה המיוצגת על $x_{0},\dots ,x_{n}$ יחד עם בחירת נקודות $t_{0},\dots ,t_{n-1}$ כאשר $t_{i}\in [x_{i},x_{i+1}]$ הוא $\sum _{i=0}^{n-1}f(t_{i})\left(x_{i+1}-x_{i}\right)$.

כל איבר בסכום הוא מכפלת הערך של הפונקציה בנקודה נתונה עם אורך הקטע בה היא נמצאת. כתוצאה מכך, כל איבר מייצג את השטח של מלבן בעל גובה $f(t_{i})$ ורוחב $x_{i+1}-x_{i}$. סכום רימן הוא סכום של כל שטחי המלבנים.

אינטגרביליות לפי רימן

לפי הגדרת רימן, פונקציה $f$ אינטגרבילית בקטע $[a,b]$ אם קיים $\ I$ממשי כך שלכל $\ \varepsilon >0$ קיים $\ \delta >0$ כך שלכל חלוקה $P$ של הקטע המקיימת $\lambda (P)\leq \delta$ כל סכום רימן $S$ המתאים לאותה חלוקה מקיים $\mid S-I\mid <\varepsilon$. אם קיים $\ I$העומד בדרישות אלו ניתן להוכיח שהוא יחיד, וערך האינטגרל של $f$ ב-$[a,b]$מוגדר להיות $I$ (כלומר $\int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x:=I$).

מושגים הקשורים זה לזה הם סכומי דרבו התחתונים והעליונים. אלה דומים לסכומי רימן, אך ערך הפונקציה בנקודה $t_{i}$ מוחלף על ידי אינפימום וסופרמום (בהתאמה) של $f$ בכל תת-קטע:

${\begin{aligned}L(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\inf _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}),\\U(f,P)&=\sum _{i=0}^{n-1}\sup _{t\in [x_{i},x_{i+1}]}f(t)(x_{i+1}-x_{i}).\end{aligned}}$

אם $f$ רציפה, סכומי הדרבו התחתונים והעליונים עבור חלוקה לא מסומנת שווים לסכום רימן עבור אותה חלוקה.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אינטגרל רימן בוויקישיתוף

• אינטגרל רימן, באתר MathWorld (באנגלית)