Tronc (géométrie)

Un tronc est la partie d'un solide située entre deux plans parallèles. Le solide est généralement un cône ou une pyramide.

Les faces du solide obtenues dans les plans de coupe sont appelées bases du tronc, et la distance entre les deux plans de coupe est la hauteur du tronc.

Cas du cône et de la pyramide

Le volume d'un tronc de pyramide ou de cône est le produit de sa hauteur par la moyenne arithmétique des aires de ses bases et de leur moyenne géométrique. Le volume V du tronc s’exprime par la formule générale :

$V\ =\ {\frac {h}{3}}\times (B_{1}+{\sqrt {B_{1}\times B_{2}}}+B_{2})$ ,

où h est la hauteur du tronc entre les deux plans parallèles, et B₁ et B₂ sont les aires des bases du tronc (contenues dans les plans parallèles de coupe du solide. Le sommet doit ne pas se trouver entre les bases.

Par exemple, pour calculer le volume d'un tronc de cône à bases circulaires :

$V\ =\ {\frac {\pi h}{3}}\times (r_{1}^{2}+r_{1}\times r_{2}+r_{2}^{2})$ ,

où h est la distance séparant les plans, et r₁ et r₂ sont les rayons des deux bases circulaires.

Si l'un des plans de coupe passe par le sommet de la pyramide, alors la base correspondante est d'aire nulle et on retrouve ainsi le volume d'un cône ou d'une pyramide de hauteur h₀ :

$V\ =\ {\frac {h_{0}\times B}{3}}$

Inversement, on peut retrouver le volume du tronc de pyramide de hauteur h, issu d'une pyramide de hauteur h₀ en retranchant du volume de la pyramide la partie de hauteur h₀ - h issue du sommet. La formule peut être employée pour calculer le volume de n'importe quel polyèdre en le découpant en une suite de pyramides, le sommet commun de celle-ci étant située à l'intérieur du polyèdre et les faces de ce dernier étant les bases des pyramides.

On retrouve également le volume des cylindres et des parallélépipèdes, pour lesquels les deux bases ont même aire. La formule se simplifie en :

$V\ =\ h\times B$ ,

où B est l’aire d’une des deux bases parallèles de coupe et h est la distance entre les deux plans de coupe.

Formule des trois niveaux

Une situation plus générale est obtenue lorsque le solide est engendré par un polygone variable dont le plan reste parallèle à un plan fixe, les sommets du polygone se déplaçant le long de segments rectilignes. Les faces latérales de ce solide ne sont pas nécessairement planes, mais sont des paraboloïdes hyperboliques. Si on note comme ci-dessus B₁ et B₂ les aires des deux bases du solide, et M l'aire du polygone se trouvant à mi-hauteur du solide, alors on a :

$V\ =\ {\frac {h}{6}}\times (B_{1}+4M+B_{2})$

Cette formule a été utilisée par Torricelli pour estimer le volume d'un tonneau. Elle se déduit de la méthode de Simpson pour déterminer une valeur approchée d'une intégrale. La méthode de Simpson donne en effet une intégrale exacte lorsqu'elle s'applique à un polynôme de degré inférieur ou égal à 3. Or ci-dessus, l'aire d'un polygone obtenu comme section du solide par un plan parallèle aux bases est une fonction polynomiale du second degré de la hauteur.

On retrouve le volume du tronc de pyramide ou de cône comme cas particulier car, dans ce dernier cas :

$M={\frac {B_{1}}{4}}+{\frac {B_{2}}{4}}+{\frac {\sqrt {B_{1}\times B_{2}}}{2}}$

Voir aussi

Liens externes

http://www.gomath.com/geometry/frustcone.php
(en) Eric W. Weisstein, « Pyramidal Frustum », sur MathWorld

Portail de la géométrie