Fermé (topologie)

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En mathématiques, dans un espace topologique E, un fermé est un sous-ensemble de E dont le complémentaire est un ouvert.

Propriétés

Toute réunion d'une famille finie de fermés est un fermé (y compris l'ensemble vide ∅, qui est — par définition — la réunion de la famille vide).
Toute intersection d'une famille (finie ou infinie) de fermés est un fermé (y compris l'espace E tout entier, qui est — par convention dans ce contexte^[1] — l'intersection de la famille vide).
Pour toute partie A de E, l'intersection de tous les fermés contenant A est donc un fermé, appelé l'adhérence de A. C'est le plus petit fermé contenant A. Il est donc réduit à A si et seulement si A est fermé.
Un espace T1 est un espace dont tous les singletons sont fermés. Tout espace séparé est T1.
L'espace E est dit connexe si E et ∅ sont ses seules parties à la fois ouvertes et fermées.
Il peut exister aussi des ensembles qui ne sont ni ouverts, ni fermés, comme l'intervalle [0, 1[ dans ℝ.
La propriété d'être fermé dépend en général de l'espace ambiant considéré : dans ]–1, 1[ muni de la topologie induite par celle de ℝ, ce même intervalle [0, 1[ est fermé, c'est-à-dire qu'il est la trace sur ]–1, 1[ d'un fermé de ℝ (par exemple [0, 1[ = ]–1, 1[ ∩ [0, + ∞[).
Un ensemble F est fermé si et seulement si toute limite (dans E) d'une suite généralisée à valeurs dans F appartient à F. L'espace E est dit séquentiel si cette caractérisation de ses fermés reste vraie en remplaçant « suite généralisée » par « suite ». Tout espace métrique est séquentiel.
F est un fermé si et seulement s'il contient son ensemble dérivé, c'est-à-dire si tout « point limite » (ou « point d'accumulation ») de F est un élément de F.
La frontière d'un fermé est incluse dans celui-ci.
Une application f : E → F entre deux espaces topologiques est continue si et seulement si l'image réciproque par f de tout fermé de F est un fermé de E.

Partie localement fermée

Une partie A de E est dite localement fermée (dans E) si elle possède l'une des propriétés équivalentes suivantes^[2] :

tout point de $A$ possède dans $E$ un voisinage $V$ tel que $A\cap V$ soit un fermé de $V$ (c'est-à-dire tel que $A\cap V=F\cap V$ pour au moins un fermé $F$ de $E$ ) ;
$A$ est ouvert dans son adhérence ${\overline {A}}$ (c'est-à-dire : $A=V\cap {\overline {A}}$ pour au moins un ouvert $V$ de $E$ ) ;
$A$ est l'intersection d'un ouvert et d'un fermé de $E$

Démonstration des équivalences

$2\Rightarrow 3$ : $2$ implique que $A$ est l'intersection d'un ouvert de $E$ et du fermé ${\overline {A}}$ .

$3\Rightarrow 1$ : Pour tout $x\in A$ , on prend pour $V$ et $F$ un ouvert et un fermé dont $A$ est l'intersection.

$1\Rightarrow 2$ : Pour tout $x\in A$ , soit $V$ un voisinage de $x$ tel que $A\cap V$ soit fermé dans $V$ . Quitte à remplacer $V$ par son intérieur, on peut supposer de plus qu'il est ouvert. Moyennant quoi, ${\overline {A}}\cap V\subset A$ (en effet, ${\overline {A\setminus V}}$ est alors disjoint de $V$ donc ${\overline {A}}\cap V$ est réduit à ${\overline {A\cap V}}\cap V=A\cap V$ , l'adhérence relative de $A\cap V$ dans $V$ ). Ceci montre que dans le sous-espace ${\overline {A}}$ , la partie $A$ est voisinage de chacun de ses points donc ouverte.