Schrödingerin kuva

Schröringerin kuva on kvanttimekaniikan formalismin yksi muoto. Siinä oletetaan systeemin tilaa kuvaavien funktioiden, tilavektorien eli aaltofunktioiden riippuvan ajasta, ja observaabeleita kuvaavien lineaarioperaattorien olevan aikariippumattomia.

Käyttö

Merkitään Schrödingerin kuvan tilavektoria ket-merkinnällä $|\psi (t)\rangle$ . Tuo tilavektori toteuttaa Schrödingerin yhtälön

$i\hbar {\frac {d}{dt}}|\psi (t)\rangle =H|\psi (t)\rangle ,$

missä H on systeemin kokonaisenergiaa kuvaava Hamiltonin operaattori ja $\hbar$ on Diracin vakio.

Tällöin niinkutsutussa puhtaassa tilassa observaabeleiden odotusarvo $\langle O\rangle$ voidaan laskea observaabelia kuvaavan (aikariippumattoman) operaattorin ${\hat {O}}$ ja tilan $|\psi (t)\rangle$ sekä tämän konjugaattitilan $\langle \psi (t)|$ avulla:

$\langle O(t)\rangle =\langle \psi (t)|{\hat {O}}|\psi (t)\rangle .$

Sekoitetussa tilassa systeemiä ei voi kuvata aaltofunktiolla vaan tilaoperaattorilla eli tiheysmatriisilla,

$\rho (t)=\sum _{i}w_{i}|\psi _{i}(t)\rangle \langle \psi _{i}(t)|,$

missä $w_{i}$ ovat eri puhtaiden tilojen $|\psi _{i}(t)\rangle$ todennäköisyyksiä. Suljetussa systeemissä tiheysmatriisi toteuttaa Liouvillen yhtälön

$i\hbar {\frac {d}{dt}}\rho (t)=[H,\rho (t)],$

missä $[H,\rho (t)]$ on Hamiltonin operaattorin ja tiheysmatriisin kommutaattori. Tällöin observaabeleiden aikakehitys saadaan kaavasta

$\langle O(t)\rangle ={\rm {Tr}}[\rho (t){\hat {O}}].$

Tässä ${\rm {Tr}}[{\hat {A}}]$ on operaattorin ${\hat {A}}$ jälki.

Vastakkainen, mutta täysin ekvivalentti tapa kuvata observaabeleiden aikariippuvuutta on olettaa tilat aikariippumattomiksi, ja operaattorit aikariippuviksi. Tätä kuvaustapaa nimitetään Heisenbergin kuvaksi. Näiden välillä käytetään usein myös vuorovaikutuskuvaa, jossa tilojen aikakehityksestä kirjoitetaan erikseen auki johonkin tunnettuun Hamiltonialaiseen liittyvä osa, ja häiriötä kuvaava osa lasketaan erikseen.

Katso myös